💰 Складні відсотки
«Складні відсотки — восьме чудо світу. Той, хто розуміє їх — заробляє; той, хто не розуміє — платить.» — Приписується Альберту Ейнштейну.
📖 Формула та параметри
Повна формула складних відсотків
- P (Principal) — початкова сума вкладу або позики
- r — річна ставка у десятковій формі (10% = 0.10)
- n — частота нарахувань: 1=річно, 4=щоквартально, 12=щомісяця, 365=щодня
- t — строк у роках
- A — кінцева сума (включно з відсотками)
Безперервне нарахування
Реальна різниця між щоденним (n=365) і безперервним нарахуванням незначна: для 10% за 10 років різниця < 0.01%.
Порівняння частоти нарахувань (P=1000, r=10%, t=5 років)
| Частота (n) | Формула | A (грн) |
|---|---|---|
| Щорічно (1) | (1 + 0.10)⁵ | 1610.51 |
| Щоквартально (4) | (1 + 0.025)²⁰ | 1638.62 |
| Щомісяця (12) | (1 + 0.00833)⁶⁰ | 1645.31 |
| Щодня (365) | (1 + 0.000274)¹⁸²⁵ | 1648.61 |
| Безперервно (∞) | e^(0.10×5) | 1648.72 |
⚡ Правило 72
Правило 72
Приблизна кількість років для подвоєння капіталу. При ставці 6% річних: t ≈ 72/6 = 12 років.
Таблиця подвоєння
| Ставка | За правилом 72 | Точне значення |
|---|---|---|
| 1% | 72 роки | 69.7 роки |
| 3% | 24 роки | 23.4 роки |
| 6% | 12 років | 11.9 роки |
| 9% | 8 років | 8.04 роки |
| 12% | 6 років | 6.12 роки |
| 18% | 4 роки | 4.19 роки |
✏️ Приклади
📌 Приклад 1: Банківський депозит
P = 50000, r = 0.08, n = 12, t = 3
A = 50000 × (1 + 0.08/12)^(12×3)
A = 50000 × (1.00667)^36
A = 50000 × 1.2702 ≈ 63 508 грн
Дохід від відсотків: 63508 − 50000 = 13 508 грн
📌 Приклад 2: Інвестиції на 20 років
A = 10000 × (1 + 0.07)^20 = 10000 × 1.07^20
1.07^20 ≈ 3.8697
A ≈ 10000 × 3.87 = $38 697
Правило 72: час подвоєння ≈ 72/7 ≈ 10.3 роки → за 20 р. капітал ×4 ✓
📌 Приклад 3: Інфляція (зворотне застосування)
A = 1000 × (1 + 0.05)^10 = 1000 × 1.6289 ≈ 1629 грн
Купівельна сила 1000 грн через 10 років = 1000/1.6289 ≈ 614 грн сьогоднішніх
🎯 Застосування
🏦 Банківські депозити
Нарахування відсотків на вклади. Капіталізація — додавання нарахованих відсотків до основної суми.
💳 Кредити
Кредитні картки, ліпотека — складні відсотки на боргу. Важливо розуміти реальну вартість кредиту (APR vs APY).
📈 Фондовий ринок
Середньорічна дохідність S&P 500 ≈ 10% (номінально). Реінвестування дивідендів — складні відсотки в дії.
🧮 NPV та дисконтування
DCF-аналіз використовує зворотну формулу: PV = FV / (1+r)^t для оцінки поточної вартості майбутніх грошових потоків.
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Фінансова математика описує часову вартість грошей та оцінку інвестицій.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.