∫ Визначений інтеграл
Формула Ньютона-Лейбніца — фундаментальна теорема математичного аналізу, що зв'язує диференціювання та інтегрування. Дозволяє обчислювати площі, об'єми та багато інших величин.
📚 Визначення
Формула Ньютона-Лейбніца
Якщо F(x) — первісна функції f(x) на відрізку [a, b], тобто F'(x) = f(x), то:
Геометричний зміст
Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції — фігури, обмеженої:
- графіком функції y = f(x) зверху
- віссю Ox знизу
- прямими x = a та x = b з боків
📐 Властивості
- ∫aa f(x)dx = 0 Інтеграл по точці дорівнює нулю
- ∫ab f(x)dx = -∫ba f(x)dx При перестановці меж знак змінюється
- ∫ab [f(x) + g(x)]dx = ∫ab f(x)dx + ∫ab g(x)dx Адитивність за підінтегральною функцією
- ∫ab c·f(x)dx = c·∫ab f(x)dx Константу можна виносити за знак інтеграла
- ∫ab f(x)dx = ∫ac f(x)dx + ∫cb f(x)dx Адитивність за проміжком інтегрування
🔧 Методи обчислення
Табличне інтегрування
Використання таблиці первісних для базових функцій
Заміна змінної
Введення нової змінної t = g(x) для спрощення інтеграла
Інтегрування частинами
Для інтегралів типу поліном × експонента
Метод трапецій
Чисельне наближення площі трапеціями
✏️ Приклади
Приклад 1: Базовий інтеграл
Первісна для x²: F(x) = x³/3
За формулою Ньютона-Лейбніца:
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 2³/3 - 0³/3 = 8/3 - 0
Приклад 2: Тригонометричний інтеграл
Первісна для sin(x): F(x) = -cos(x)
∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -cos(π) - (-cos(0))
= -(-1) - (-1) = 1 + 1
Приклад 3: Площа під параболою
S = ∫₋₂² (4 - x²) dx = [4x - x³/3]₋₂²
= (4·2 - 8/3) - (4·(-2) - (-8)/3)
= (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3
Приклад 4: Метод заміни змінної
Заміна: t = x², dt = 2x dx → x dx = dt/2
Нові межі: x=0 → t=0, x=1 → t=1
∫₀¹ x·ex² dx = ½ ∫₀¹ et dt = ½ [et]₀¹ = ½(e - 1)
Приклад 5: Інтегрування частинами
u = x, dv = cos(x)dx → du = dx, v = sin(x)
∫₀π x·cos(x)dx = [x·sin(x)]₀π - ∫₀π sin(x)dx
= (π·sin(π) - 0) - [-cos(x)]₀π
= 0 - (-cos(π) + cos(0)) = -(1 + 1)
Приклад 6: Площа між двома кривими
Точки перетину: x² = x → x(x-1) = 0 → x = 0, x = 1
На [0,1]: x ≥ x², тому S = ∫₀¹ (x - x²) dx
= [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6
Приклад 7: Об'єм тіла обертання
V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx
= π · [x²/2]₀⁴ = π · (16/2 - 0) = 8π
📏 Парні та непарні функції
Спрощення на симетричних проміжках
При інтегруванні на симетричному проміжку [-a, a]:
🔢 Чисельні методи
Метод прямокутників
Найпростіше наближення — сума площ прямокутників
Метод трапецій
Кожна ділянка наближується трапецією
Метод Сімпсона (парабол)
Найточніший серед простих методів (n — парне)
Порівняння точності
Для однакової кількості точок n:
Трапеції: O(h²)
Сімпсон: O(h⁴)
∞ Невласні інтеграли
Нескінченні межі інтегрування
Розривна підінтегральна функція
Якщо f(x) має розрив у точці c ∈ [a,b]:
Приклад 8: Невласний інтеграл
∫₁∞ 1/x² dx = limb→∞ [-1/x]₁b = limb→∞ (-1/b + 1) = 0 + 1
⚠️ Типові помилки
- Забувають підставити обидві межі (і верхню, і нижню) — F(b) мінус F(a)
- При заміні змінної не змінюють межі інтегрування на нові значення
- Забувають, що ∫ab f(x)dx може бути від'ємним (якщо f(x) < 0) — площа = |∫|
- Площа між кривими: завжди ∫(верхня - нижня), а не навпаки
- При обертанні навколо Oy формула інша: V = 2π ∫ x·f(x)dx (метод оболонок)
- Плутають невизначений інтеграл (+ C) і визначений (конкретне число)
🎯 Застосування
📐 Площа фігури
Обчислення площ плоских фігур, обмежених кривими лініями
📦 Об'єм тіла
Об'єми тіл обертання: V = π∫f²(x)dx
📏 Довжина дуги
L = ∫√(1 + [f'(x)]²) dx
⚡ Робота сили
A = ∫F(x)dx — робота змінної сили
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Ключові формули математичного аналізу: похідні, інтеграли, ряди, граничні переходи та теореми про середнє значення — фундамент кількісного опису природи.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.