Головна → Математика → Визначник матриці

|A| Визначник матриці

det(A) = a₁₁·a₂₂ - a₁₂·a₂₁

Визначник (детермінант) — ключова характеристика квадратної матриці, що визначає її оборотність, об'єм паралелепіпеда та властивості лінійних перетворень.

📋 Формули обчислення

Матриця 2×2

det(A) = a₁₁·a₂₂ - a₁₂·a₂₁

Добуток головної діагоналі мінус добуток побічної діагоналі

Матриця 3×3 (правило Саррюса)

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃

Три додатні та три від'ємні добутки діагоналей

Розклад за рядком

det(A) = Σ (-1)^(i+j) · aᵢⱼ · Mᵢⱼ

Mᵢⱼ — мінор елемента aᵢⱼ (визначник без i-го рядка та j-го стовпця)

Метод Гаусса

det(A) = ±λ₁·λ₂·...·λₙ

Добуток діагональних елементів трикутної матриці

🔢 Калькулятор 2×2

Введіть елементи матриці:

Визначник:

det(A) = 7

📐 Властивості визначників

  • det(Aᵀ) = det(A) — Визначник транспонованої матриці дорівнює визначнику початкової
  • det(A·B) = det(A)·det(B) — Визначник добутку = добуток визначників
  • det(A⁻¹) = 1/det(A) — Визначник оберненої матриці = обернений визначник
  • det(λA) = λⁿ·det(A) — При множенні на скаляр визначник множиться на λⁿ
  • det(A) = 0 ⟺ Матриця вироджена (необоротна)
  • Перестановка рядків — Змінює знак визначника на протилежний
  • Два однакові рядки — Визначник дорівнює нулю

✏️ Приклади

Приклад 1: Матриця 2×2

Обчислити визначник матриці A = [[3, 7], [2, 5]]

За формулою для 2×2:

det(A) = a₁₁·a₂₂ - a₁₂·a₂₁

det(A) = 3·5 - 7·2 = 15 - 14

det(A) = 1

Приклад 2: Матриця 3×3

Обчислити визначник матриці A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

За правилом Саррюса:

+ (1·5·9) + (2·6·7) + (3·4·8) = 45 + 84 + 96 = 225

- (3·5·7) - (1·6·8) - (2·4·9) = 105 + 48 + 72 = 225

det(A) = 225 - 225

det(A) = 0 (матриця вироджена)

Приклад 3: Розклад за рядком

Обчислити визначник матриці A = [[2, 0, 1], [3, 1, 2], [1, 0, 3]] розкладом за першим рядком

det(A) = a₁₁·M₁₁ - a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃

M₁₁ = |1, 2; 0, 3| = 3

M₁₂ = |3, 2; 1, 3| = 7 (але a₁₂ = 0)

M₁₃ = |3, 1; 1, 0| = -1

det(A) = 2·3 - 0·7 + 1·(-1)

det(A) = 5

Приклад 4: Використання властивостей

Якщо det(A) = 4, знайти: det(3A) для матриці 3×3, det(A²), det(A⁻¹)

det(3A) = 3³ · det(A) = 27 · 4 = 108

det(A²) = det(A)² = 4² = 16

det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/4

det(3A) = 108, det(A²) = 16, det(A⁻¹) = 0.25

Приклад 5: Площа трикутника

Вершини трикутника: A(1,2), B(4,6), C(7,1). Знайти площу.

S = ½ |det([[1,2,1],[4,6,1],[7,1,1]])|

= ½ |1(6-1) - 2(4-7) + 1(4-42)|

= ½ |5 + 6 - 38| = ½ · 27

S = 13.5 кв.од.

Приклад 6: Правило Крамера

Розв'язати: { 2x + y = 5, { x - 3y = -1

D = |2,1; 1,-3| = -6 - 1 = -7

Dₓ = |5,1; -1,-3| = -15 + 1 = -14

Dᵧ = |2,5; 1,-1| = -2 - 5 = -7

x = Dₓ/D = -14/(-7) = 2

y = Dᵧ/D = -7/(-7) = 1

x = 2, y = 1

🔢 Визначник n×n

Розклад Лапласа

Для матриць будь-якого розміру застосовують розклад за будь-яким рядком чи стовпцем:

det(A) = Σj=1n (-1)i+j · aij · Mij
Розклад за i-м рядком. Обирайте рядок/стовпець з найбільшою кількістю нулів!

Знаки алгебраїчних доповнень (шаховий патерн):

+ - + -
- + - +
+ - + -
- + - +

Метод зведення до трикутної матриці

Ефективніший метод для великих матриць:

  • 1. Елементарними перетвореннями звести до верхньотрикутного вигляду
  • 2. Визначник = добуток діагональних елементів (з урахуванням перестановок рядків)

Важливо: Додавання кратного рядка до іншого не змінює визначник. Перестановка рядків змінює знак.

📊 Характеристичний поліном

Власні значення матриці знаходять з характеристичного рівняння:

det(A - λI) = 0
де λ — власне значення, I — одинична матриця

Приклад 7: Власні значення

Знайти власні значення A = [[4,1],[2,3]]

det(A - λI) = |4-λ, 1; 2, 3-λ| = 0

(4-λ)(3-λ) - 2 = 0

12 - 7λ + λ² - 2 = 0 → λ² - 7λ + 10 = 0

(λ - 2)(λ - 5) = 0

λ₁ = 2, λ₂ = 5

Зв'язок з власними значеннями

det(A) = λ₁ · λ₂ · ... · λₙ
tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ
Визначник = добуток власних значень, Слід = сума власних значень

⚠️ Типові помилки

  • Плутають знаки у правилі Саррюса: 3 доданки додаються, 3 віднімаються
  • Правило Саррюса працює ЛИШЕ для 3×3, не для 4×4!
  • Забувають шаховий знак (-1)i+j при розкладі Лапласа
  • det(λA) = λn·det(A), а не λ·det(A)
  • det(A+B) ≠ det(A) + det(B) у загальному випадку
  • Плутають мінор Mij і алгебраїчне доповнення Aij = (-1)i+jMij

🎯 Застосування

🔄 Оборотність матриці

Матриця має обернену тоді і тільки тоді, коли det(A) ≠ 0

📊 Системи рівнянь

Правило Крамера: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A) для розв'язання систем

📐 Площа та об'єм

|det(A)| = об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах-рядках

🔀 Лінійні перетворення

|det(A)| — коефіцієнт зміни площі/об'єму при перетворенні

📈 Власні значення

det(A - λI) = 0 — характеристичне рівняння для знаходження λ

🎮 Комп'ютерна графіка

Визначення орієнтації полігонів, перевірка колінеарності точок

📏 Геометричний зміст

Площа та об'єм

Модуль визначника матриці 2×2 дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах-рядках матриці:

S = |det([[a, b], [c, d]])| = |ad - bc|
Площа паралелограма на векторах (a,b) та (c,d)

Аналогічно, для 3×3: |det(A)| = об'єм паралелепіпеда на трьох векторах-рядках.

Знак визначника

  • det(A) > 0 — перетворення зберігає орієнтацію простору
  • det(A) < 0 — перетворення змінює орієнтацію (відбиття)
  • det(A) = 0 — перетворення стискає простір до нижчої розмірності

Про ці формули

Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.

Ключові формули лінійної алгебри: визначник матриці, обернена матриця, власні числа, QR-розклад, ортогоналізація Грама-Шмідта.

Як застосовувати формули

Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.

Часті запитання (FAQ)

Які основні формули охоплює цей розділ з 🔬 наукові калькулятори?
Розділ '🔬 Наукові калькулятори' містить: визначник матриці det(A), обернена матриця A⁻¹, характеристичний поліном, власні числа та вектори, система лінійних рівнянь. Кожна формула подана у загальному вигляді з поясненням позначень та умовами застосування.
Як правильно застосовувати формули з 🔬 наукові калькулятори?
Перед підстановкою чисел у формулу переконайтесь: (1) всі величини в одних одиницях, (2) ви зрозуміли фізичний або математичний сенс кожного символу, (3) результат має правильну розмірність. Це три кроки, що запобігають 90% помилок.
Де в реальному житті використовуються формули 🔬 наукові калькулятори?
Формули 🔬 наукові калькулятори застосовуються в: комп'ютерній графіці (матриці трансформацій), ML (навчання нейромереж), фізиці (квантові стани), криптографії (решітки). Знання цих співвідношень є обов'язковим для інженерів, науковців та студентів відповідних спеціальностей.
Які типові помилки роблять при роботі з формулами 🔬 наукові калькулятори?
Найчастіші помилки: плутанина з одиницями вимірювання, неправильне трактування умов застосування формули, арифметичні прорахунки при підстановці. Завжди перевіряйте розмірність результату та порівнюйте з очікуваним порядком величини.
Як перевірити правильність формули 🔬 наукові калькулятори?
Для перевірки: (1) перевірте розмірність (всі доданки мають однакову розмірність), (2) підставте граничні випадки (нулі, нескінченність), (3) звіртеся з результатом онлайн-калькулятора на calculator.party.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор визначника матриці 🧮 Визначник матриці