Теорема косинусів
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
Теорема косинусів: c² = a²+b²−2ab·cos(C). Узагальнення теореми Піфагора, формула знаходження кута, приклади.
📐 Теорема косинусів
Теорема косинусів узагальнює теорему Піфагора для довільного трикутника.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
або у симетричних формах:
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
b² = a² + c² − 2ac·cos(B)
🔗 Зв'язок з теоремою Піфагора
При C = 90°: cos(90°) = 0, тому c² = a² + b² — класична теорема Піфагора!
📊 Знаходження кута
cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)
✏️ Приклади
Знайти сторону c
a = 5, b = 7, C = 60°
c² = 25 + 49 − 2·5·7·cos(60°) = 74 − 70·0.5 = 74 − 35 = 39
c = √39 ≈ 6.24
Знайти кут C
a = 3, b = 4, c = 5
cos(C) = (9 + 16 − 25)/(2·3·4) = 0/24 = 0 → C = 90°
🎯 Теорему косинусів застосовують, коли відомі три сторони (SSS) або дві сторони і кут між ними (SAS).
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Ключові формули: теорема Піфагора, формули тригонометрії, площі та об'єми тіл, рівняння кіл та еліпсів.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.
Часті запитання (FAQ)
Які основні формули охоплює цей розділ з теорема косинусів?
Розділ 'Теорема косинусів' містить: площа трикутника (½bh), теорема Піфагора, теореми синусів і косинусів, формули об'ємів тіл, рівняння кола. Кожна формула подана у загальному вигляді з поясненням позначень та умовами застосування.
Як правильно застосовувати формули з теорема косинусів?
Перед підстановкою чисел у формулу переконайтесь: (1) всі величини в одних одиницях, (2) ви зрозуміли фізичний або математичний сенс кожного символу, (3) результат має правильну розмірність. Це три кроки, що запобігають 90% помилок.
Де в реальному житті використовуються формули теорема косинусів?
Формули теорема косинусів застосовуються в: архітектурі та будівництві, навігації та GPS, комп'ютерній графіці, геодезії та картографії. Знання цих співвідношень є обов'язковим для інженерів, науковців та студентів відповідних спеціальностей.
Які типові помилки роблять при роботі з формулами теорема косинусів?
Найчастіші помилки: плутанина з одиницями вимірювання, неправильне трактування умов застосування формули, арифметичні прорахунки при підстановці. Завжди перевіряйте розмірність результату та порівнюйте з очікуваним порядком величини.
Як перевірити правильність формули теорема косинусів?
Для перевірки: (1) перевірте розмірність (всі доданки мають однакову розмірність), (2) підставте граничні випадки (нулі, нескінченність), (3) звіртеся з результатом онлайн-калькулятора на calculator.party.