🧮 Визначник матриці
Визначник — це число, яке "стискає" всю інформацію про квадратну матрицю в один скаляр: чи оборотна вона, як масштабує площі та об'єми, чи лінійно незалежні її рядки.
📖 Формула та позначення
Визначник матриці 2×2
c d | = a·d − b·c
- a, d — елементи головної діагоналі (зліва зверху → праворуч знизу)
- b, c — елементи побічної діагоналі
- det(A) — визначник, позначається також |A|
- Правило: добуток головної діагоналі мінус добуток побічної діагоналі
Визначник матриці 3×3 — розклад за першим рядком
Увага, типова помилка: середній доданок (з коефіцієнтом b) віднімається, а не додається. Формула не "a(...) + b(...) + c(...)", а a(...) − b(...) + c(...).
Правило Саррюса (мнемоніка для 3×3): дописати перший і другий стовпці матриці праворуч від третього. Скласти добутки трьох діагоналей "вниз-праворуч" (a·e·i, b·f·g, c·d·h) і відняти добутки трьох діагоналей "вниз-ліворуч" (c·e·g, a·f·h, b·d·i):
Знаки при розкладі за кофакторами (шаховий порядок)
| Стовпець 1 | Стовпець 2 | Стовпець 3 | |
|---|---|---|---|
| Рядок 1 | + | − | + |
| Рядок 2 | − | + | − |
| Рядок 3 | + | − | + |
Знак кофактора елемента у позиції (i,j) дорівнює (−1)i+j. Розклад можна вести за будь-яким рядком або стовпцем — результат завжди однаковий.
Геометричний та алгебраїчний сенс
- 2×2: |det(A)| дорівнює площі паралелограма, побудованого на рядках (або стовпцях) матриці як на векторах
- 3×3: |det(A)| дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на трьох рядкових (стовпцевих) векторах
- Лінійні перетворення: det(A) показує, у скільки разів перетворення A масштабує площу/об'єм; від'ємний знак означає зміну орієнтації (дзеркальне відображення)
- det(A) = 0 означає, що матриця вироджена (сингулярна): рядки/стовпці лінійно залежні, оберненої матриці не існує, "об'єм" фігури сплющений до нуля
✏️ Приклади
📌 Приклад 1: Визначник 2×2
a=4, b=3, c=6, d=8
det(A) = a·d − b·c = 4×8 − 3×6
det(A) = 32 − 18 = 14
📌 Приклад 2: Визначник 3×3 (ненульовий)
a=2, b=0, c=1, d=3, e=0, f=0, g=5, h=1, i=1
ei − fh = 0×1 − 0×1 = 0
di − fg = 3×1 − 0×5 = 3
dh − eg = 3×1 − 0×5 = 3
det(A) = a(ei−fh) − b(di−fg) + c(dh−eg) = 2×0 − 0×3 + 1×3
det(A) = 0 − 0 + 3 = 3
Перевірка правилом Саррюса: aei+bfg+cdh−ceg−afh−bdi = (2×0×1)+(0×0×5)+(1×3×1) − (1×0×5)−(2×0×1)−(0×3×1) = 0+0+3−0−0−0 = 3 ✓
📌 Приклад 3: Визначник 3×3, що дорівнює нулю
a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=6, g=5, h=7, i=9
ei − fh = 5×9 − 6×7 = 45 − 42 = 3
di − fg = 4×9 − 6×5 = 36 − 30 = 6
dh − eg = 4×7 − 5×5 = 28 − 25 = 3
det(A) = 1×3 − 2×6 + 3×3 = 3 − 12 + 9 = 0
Це не випадковість: рядок 3 = рядок 1 + рядок 2 (лінійна залежність рядків), тому визначник обов'язково дорівнює нулю — матриця вироджена, оберненої матриці не існує.
🎯 Застосування
📐 Правило Крамера
Розв'язання систем лінійних рівнянь Ax=b через відношення визначників: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), де Aᵢ — матриця A з i-тим стовпцем, заміненим на b. Працює лише коли det(A) ≠ 0.
🔍 Перевірка оборотності
Матриця A має обернену A⁻¹ тоді і тільки тоді, коли det(A) ≠ 0. Це найшвидший спосіб перевірити, чи можна "поділити" на матрицю, перш ніж шукати A⁻¹.
🌀 Власні значення (характеристичний поліном)
Власні значення λ матриці A знаходять з рівняння det(A − λI) = 0. Це характеристичний поліном — розкриваючи визначник, отримують поліном степеня n, корені якого і є власними значеннями.
📏 Площа, об'єм і масштаб перетворень
|det| дає площу паралелограма (2×2) чи об'єм паралелепіпеда (3×3), побудованого на векторах-рядках. У лінійних перетвореннях det(A) — коефіцієнт масштабування площі/об'єму фігури.
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Визначник — одне з базових понять лінійної алгебри, що зв'язує алгебраїчні властивості матриці (оборотність, ранг) з геометричними (площа, об'єм, орієнтація).
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Для 3×3 завжди перевіряйте знак середнього доданка (мінус перед b) — це найпоширеніша помилка при обчисленні визначників вручну.