💵 Теперішня вартість (Present Value)
«Долар сьогодні вартий більше, ніж долар завтра» — принцип часової вартості грошей (time value of money), фундамент усієї фінансової математики.
📖 Формула та параметри
Що означає теперішня вартість
- PV (Present Value) — сума грошей сьогодні, еквівалентна майбутній сумі з урахуванням дисконту
- FV (Future Value) — відома сума, яку буде отримано або сплачено через n періодів
- r — ставка дисконтування за період (у десятковій формі): відображає альтернативну дохідність або вартість капіталу
- n — кількість періодів (років, кварталів, місяців) до отримання FV
Ключова ідея — часова вартість грошей: сума грошей, яку ви маєте зараз, коштує більше за таку ж суму в майбутньому, тому що (1) її можна інвестувати й отримати дохід, і (2) інфляція з часом знецінює купівельну спроможність грошей. Дисконтування — це процес переведення майбутньої суми в еквівалент сьогоднішньої вартості.
PV як обернена формула складних відсотків
Формула складних відсотків показує, у скільки перетвориться сьогоднішня сума PV через n періодів при ставці r: FV = PV·(1+r)ⁿ. Щоб виконати обернену дію — дізнатися, скільки варта сьогодні відома майбутня сума FV — ділимо обидві сторони рівняння на (1+r)ⁿ:
FV = PV·(1+r)ⁿ ⟹ FV / (1+r)ⁿ = PV·(1+r)ⁿ / (1+r)ⁿ ⟹ PV = FV / (1+r)ⁿ
Множник 1/(1+r)ⁿ називають коефіцієнтом дисконтування — він завжди менший за 1 (при r > 0), тому PV завжди менша за FV.
Як PV змінюється зі зростанням r та n (при FV = 1000)
| Ставка r | n = 5 років | n = 10 років | n = 20 років |
|---|---|---|---|
| 5% | 783.53 | 613.91 | 376.89 |
| 10% | 620.92 | 385.54 | 148.64 |
Правило: при фіксованій FV теперішня вартість зменшується і зі збільшенням ставки дисконтування r, і зі збільшенням кількості періодів n. Це логічно — чим довший строк очікування або чим вища альтернативна дохідність, тим менше сьогодні варта майбутня сума.
⚡ NPV — чиста теперішня вартість
Формула NPV для кількох грошових потоків
NPV підсумовує теперішню вартість усіх майбутніх грошових потоків (CFt) проєкту за різні періоди t, а потім віднімає початкові вкладення. Якщо NPV > 0 — проєкт вигідний за цієї ставки дисконтування; якщо NPV < 0 — проєкт не окупається.
Логіка NPV-аналізу
На відміну від простої формули PV (один майбутній платіж), реальні інвестиційні проєкти генерують серію грошових потоків у різні роки. Кожен окремий потік CFt дисконтується до теперішньої вартості за власний період t, після чого всі теперішні вартості додаються. Отримана сума порівнюється з початковими інвестиціями — різниця і є чистою теперішньою вартістю (Net Present Value).
✏️ Приклади
📌 Приклад 1: Разова майбутня виплата
FV = 10000, r = 0.08, n = 5
PV = 10000 / (1 + 0.08)^5 = 10000 / 1.08^5
1.08^5 ≈ 1.46933
PV = 10000 / 1.46933 ≈ $6 805.83
📌 Приклад 2: Оцінка облігації з одним платежем
FV = 5000, r = 0.06, n = 3
PV = 5000 / (1.06)^3 = 5000 / 1.191016
PV ≈ $4 198.10
📌 Приклад 3: Ціль накопичення (зворотний розрахунок)
FV = 50000, r = 0.05, n = 10
PV = 50000 / (1.05)^10 = 50000 / 1.628895
PV ≈ $30 695.66
🎯 Застосування
📊 Оцінка інвестиційних проєктів (NPV)
Компанії дисконтують очікувані майбутні грошові потоки проєкту, щоб порівняти їх із початковими витратами й вирішити, чи варто інвестувати.
💵 Ціноутворення облігацій
Справедлива ціна облігації — це сума теперішніх вартостей усіх майбутніх купонних виплат і номіналу, дисконтованих за ринковою ставкою.
🏖️ Пенсійне планування
Щоб визначити, скільки треба відкладати сьогодні для досягнення майбутньої пенсійної цілі, майбутню потребу в коштах дисконтують до теперішньої вартості.
⚖️ Порівняння кредитів і лізингу
Коли пропозиції мають різний графік платежів, PV дозволяє привести всі майбутні виплати до єдиної теперішньої точки відліку для коректного порівняння.
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Фінансова математика описує часову вартість грошей та оцінку інвестицій — теперішня вартість є одним із найважливіших інструментів цієї галузі.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.