📐 Теорема Піфагора

a² + b² = c²

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Одна з найдавніших і найзастосованіших теорем геометрії.

📖 Формулювання та позначення

Основна теорема

У прямокутному трикутнику ABC, де кут C = 90°:

a² + b² = c²

a, b — катети (сторони, що утворюють прямий кут); c — гіпотенуза (сторона напроти прямого кута)

Звідси три форми:

c = √(a² + b²) — знайти гіпотенузу
a = √(c² − b²) — знайти катет a
b = √(c² − a²) — знайти катет b

Обернена теорема Піфагора

Якщо в трикутнику зі сторонами a, b, c виконується рівність a² + b² = c², то цей трикутник є прямокутним (кут напроти сторони c = 90°). Використовується для перевірки, чи є трикутник прямокутним.

🔎 Класичне доведення (площа)

Доведення через квадрати

Побудуємо квадрат зі стороною (a+b). Всередині розмістимо 4 конгруентних прямокутних трикутники з катетами a, b та гіпотенузою c.

Площа великого квадрату: (a+b)² = a² + 2ab + b²

Площа 4 трикутників: 4 · (ab/2) = 2ab

Площа внутрішнього квадрату зі стороною c: (a+b)² − 2ab = c²

Отже: a² + 2ab + b² − 2ab = c² → a² + b² = c² ✓

🎯 Піфагорові трійки

Цілочисельні рішення a² + b² = c²:

3, 4, 59+16=25

5, 12, 1325+144=169

8, 15, 1764+225=289

7, 24, 2549+576=625

20, 21, 29400+441=841

9, 40, 4181+1600=1681

6, 8, 10кратна 3-4-5

12, 16, 20кратна 3-4-5

Загальна формула: a = m²−n², b = 2mn, c = m²+n², де m > n > 0.

✏️ Приклади розрахунків

📌 Приклад 1: Знайти гіпотенузу

Катети прямокутного трикутника: a = 3 см, b = 4 см. Знайти гіпотенузу.

c = √(a² + b²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см

c = 5 см (Піфагорова трійка 3-4-5)

📌 Приклад 2: Знайти катет

Гіпотенуза c = 13 см, один катет b = 5 см. Знайти другий катет.

a = √(c² − b²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см

a = 12 см

📌 Приклад 3: Діагональ кімнати

Кімната 5 × 12 м. Яка довжина діагоналі?

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 м

Діагональ = 13 м

🌍 Застосування

🏗️ Будівництво

Перевірка прямих кутів (3-4-5), розрахунок діагоналей, висот, нахилів. Будівельники використовують трійку 3-4-5 для перевірки прямого кута.

🛰️ GPS та навігація

Відстань між двома точками в 2D і 3D: d = √(Δx²+Δy²+Δz²). Основа алгоритмів навігації.

💻 Комп'ютерна графіка

Евклідова відстань між пікселями, нормалізація векторів, колізії об'єктів у 2D/3D грі.

⚡ Електротехніка

Повний опір |Z| = √(R²+X²) у колах змінного струму. Вектор с — повний опір (імпеданс).

🧮 Калькулятор теореми Піфагора → 📖 Стаття: 370 доведень та GPS →

Про ці формули

Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.

Ключові формули: теорема Піфагора, формули тригонометрії, площі та об'єми тіл, рівняння кіл та еліпсів.

Як застосовувати формули

Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.

Часті запитання (FAQ)

Які основні формули охоплює цей розділ з 🔬 наукові калькулятори?

Розділ '🔬 Наукові калькулятори' містить: площа трикутника (½bh), теорема Піфагора, теореми синусів і косинусів, формули об'ємів тіл, рівняння кола. Кожна формула подана у загальному вигляді з поясненням позначень та умовами застосування.

Як правильно застосовувати формули з 🔬 наукові калькулятори?

Перед підстановкою чисел у формулу переконайтесь: (1) всі величини в одних одиницях, (2) ви зрозуміли фізичний або математичний сенс кожного символу, (3) результат має правильну розмірність. Це три кроки, що запобігають 90% помилок.

Де в реальному житті використовуються формули 🔬 наукові калькулятори?

Формули 🔬 наукові калькулятори застосовуються в: архітектурі та будівництві, навігації та GPS, комп'ютерній графіці, геодезії та картографії. Знання цих співвідношень є обов'язковим для інженерів, науковців та студентів відповідних спеціальностей.

Які типові помилки роблять при роботі з формулами 🔬 наукові калькулятори?

Найчастіші помилки: плутанина з одиницями вимірювання, неправильне трактування умов застосування формули, арифметичні прорахунки при підстановці. Завжди перевіряйте розмірність результату та порівнюйте з очікуваним порядком величини.

Як перевірити правильність формули 🔬 наукові калькулятори?

Для перевірки: (1) перевірте розмірність (всі доданки мають однакову розмірність), (2) підставте граничні випадки (нулі, нескінченність), (3) звіртеся з результатом онлайн-калькулятора на calculator.party.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор теореми Піфагора 📖 Застосування теореми Піфагора у реальному житті: приклади та калькулятор