Шпаргалка з комбінаторики: перестановки, поєднання, розміщення

🔢 Основні формули підрахунку

🔄 Перестановки (P)

P(n) = n!

Визначення	Кількість способів розміщення n елементів
Приклад: 3!	3! = 6 (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA)
З повторенням	P = n! / (n₁! · n₂! · ...)
0!	= 1 (визначення)

🎯 Поєднання (C, «вибір»)

C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)

Читається	«n choose k» або «з n по k»
Порядок	НЕ важливий
C(5,2)	= 10
Симетрія	C(n,k) = C(n, n−k)
Крайні випадки	C(n,0)=C(n,n)=1

📦 Розміщення (A)

A(n,k) = n! / (n−k)!

Визначення	Впорядковані підмножини k з n
Порядок	ВАЖЛИВИЙ
A(5,2)	= 20
Зв'язок	A(n,k) = C(n,k) · k!

♻️ З повторенням

Поєднання з повт.	C̄(n,k) = C(n+k−1, k)
Розміщення з повт.	Ā(n,k) = nᵏ
Приклад: кинути кубик 3 рази	6³ = 216 варіантів

«З повторенням» — елемент може повторюватись у виборці

📐 Бінімоіальна теорема та трикутник Паскаля

🔺 Трикутник Паскаля

Рядки n=0..4	1 / 1 1 / 1 2 1 / 1 3 3 1 / 1 4 6 4 1
Елемент рядку n	C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n)
Сума рядка n	= 2ⁿ
Тотожність Паскаля	C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)

🧮 Бінімоіальна теорема

(a+b)ⁿ = Σ C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ

(a+b)²	a²+2ab+b²
(a+b)³	a³+3a²b+3ab²+b³
(1+x)ⁿ при x≪1	≈ 1 + nx (лінійне наближення)

🔗 Принцип включень-виключень

|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|

Для трьох множин

|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| −|A∩B|−|A∩C|−|B∩C| +|A∩B∩C|

Використовується для підрахунку елементів об'єднання множин без подвійного рахунку

🐦 Принцип Дирихле (шухлядок)

Твердження	Якщо n+1 об'єктів у n ящиках → хоча б один ящик містить ≥ 2 об'єкти
Приклад	13 людей і 12 місяців → ≥ 2 людини народились в один місяць
Загальна форма	⌈n/k⌉ об'єктів у одному ящику

📏 Формули та корисні тотожності

∑ Формула сум

Сума натуральних	Σk (k=1..n) = n(n+1)/2
Сума квадратів	Σk² = n(n+1)(2n+1)/6
Сума кубів	Σk³ = [n(n+1)/2]²
Геом. прогресія	Σrᵏ (k=0..n) = (rⁿ⁺¹−1)/(r−1)

🎲 Імовірність (комбінаторна)

Класична формула	P(A) = сприятливі/всі = m/n
Добуток (незал. події)	P(A∩B) = P(A)·P(B)
Сума (несумісні)	P(A∪B) = P(A)+P(B)
Доповнення	P(Ā) = 1 − P(A)

🌀 Числа Стерлінга та Каталана

Число Каталана (Cₙ)	Cₙ = C(2n,n)/(n+1)
C₀..C₅	1, 1, 2, 5, 14, 42
Застосування Cₙ	дужкові послідовності, бінарні дерева
Наближення Стерлінга	n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ

Як користуватися шпаргалкою

Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.

Шпаргалка охоплює: класичну і умовну ймовірність, теорему Байєса, комбінаторику, розподіли Бернуллі, Пуассона та нормальний розподіл.

Ефективне використання

Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.

Часті запитання (FAQ)

Які ключові формули та правила містить шпаргалка з комбінаторики?

Ця шпаргалка з 'комбінаторики' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.

Для кого призначена ця шпаргалка з комбінаторики?

Шпаргалка з 'комбінаторики' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.

Як використовувати шпаргалку з комбінаторики при підготовці до іспиту?

Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.

Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з комбінаторики?

Шпаргалка з 'комбінаторики' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.

Де ще можна попрактикуватися з комбінаторики після вивчення шпаргалки?

Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.

Шпаргалка з комбінаторики