Перестановки, розміщення, поєднання, принцип включень-виключень — покроково
Задача 1
Перестановки: розклад книг на полиці
На полиці стоять 7 різних книг. Скількома способами їх можна розставити? Скількома способами — якщо 2 конкретні книги мають стояти поруч?
Частина а) Без обмежень
P(n) = n! = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040
Перестановка n різних елементів — n! способів.
Частина б) Дві книги B₁ та B₂ поруч
Склеюємо B₁B₂ в один об'єкт → 6 об'єктів → P(6) = 6! = 720Всередині пари B₁B₂ чи B₂B₁ → ×2N = 6! × 2 = 720 × 2 = 1440 способів
Принцип: пов'язані елементи «склеюємо» в один, рахуємо перестановки, потім рахуємо внутрішні варіанти.
✅ Відповідь: а) 5040 способів; б) 1440 способів (з двома сусідніми книгами)
Задача 2
Поєднання: комітет з групи студентів
У групі 12 студентів. Потрібно вибрати 3 осіб для комітету (порядок не важливий). Скількома способами? Скількома, якщо студент Антон обов'язково входить до комітету?
Кожна наступна цифра: 10, 9, 8, 7 варіантів (вже використані не повторюємо).
✅ Відповідь: а) 10⁴ = 10 000 PIN-кодів; б) A(10,4) = 5040 кодів з різними цифрами
Задача 4
Принцип включень-виключень
Серед 100 студентів: 60 вивчають математику (М), 45 — фізику (Ф), 30 — обидва предмети. Скільки студентів вивчають хоча б один предмет? Скільки — рівно один?
✅ Відповідь: хоча б один = 75; рівно один = 45; жодного = 25
Задача 5
Розподіл об'єктів: листи і скриньки (комбінаторика розподілів)
Скількома способами можна розподілити 5 різних листів по 3 різних поштових скриньках (кожен лист — в один ящик)?
Скількома способами, якщо кожна скринька має отримати хоча б 1 лист?
Частина а) Без обмежень
Кожен із 5 листів → 3 варіанти скриньки → 3⁵ = 243 способи
Правило добутку: для кожного листа незалежно 3 варіанти.
Частина б) Кожна скринька отримує хоча б 1 лист (принцип ПВВ)
A = всі — (хоча б 1 пуста)|хоча б 1 пуста| = C(3,1)·2⁵ − C(3,2)·1⁵ = 3·32 − 3·1 = 93|кожна непуста| = 3⁵ − C(3,1)·2⁵ + C(3,2)·1⁵ = 243 − 96 + 3 = 150
Чисельність Стирлинга: S(5,3)·3! = 25·6 = 150 ✓ (сюр'єктивні функції).
Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.
Теорія ймовірностей — математична основа для аналізу випадкових явищ.
Як вчитися на прикладах
Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.
Часті запитання (FAQ)
Які методи розв'язання задач з комбінаторика демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Комбінаторика': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з комбінаторика представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з комбінаторика найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок комбінаторика містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з комбінаторика допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Комбінаторика' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.