🎲 Теорія ймовірностей

Задачі з теорії ймовірностей

5 розв'язаних задач: класична ймовірність, комбінаторика, умовна ймовірність, теорема Байєса

Ключові формули

Теорія ймовірностей — основні формули
Класична ймовірністьP(A) = m / n
ДоповненняP(Ā) = 1 − P(A)
Умовна ймовірністьP(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Теорема множення (незалежні)P(A∩B) = P(A)·P(B)
Формула БайєсаP(Hᵢ|A) = P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ) / Σ P(Hⱼ)·P(A|Hⱼ)
Комбінацій з n по kC(n,k) = n! / (k!·(n−k)!)
Задача 1 — Класична ймовірність
У колоді 52 карти. Яка ймовірність витягнути туза або карту чирей?
Дано:52 карти; 4 тузи, 13 чирей, 1 туз чирей
Крок 1: Формула включень-виключень
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
Крок 2: Підставляємо
P(туз) = 4/52; P(чирей) = 13/52; P(туз∩чирей) = 1/52
P = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13
Відповідь: P = 4/13 ≈ 0,308 (30,8%)
Задача 2 — Комбінаторика (команда)
Команда з 10 людей. Скільки способів обрати 3 кандидати на посади капітана, заступника і голкіпера (порядок важливий)?
Дано:n = 10, k = 3, порядок важливий (перестановка з повторенням)
Крок 1: Розміщення A(n,k) = n! / (n−k)!
A(10,3) = 10! / 7! = 10·9·8 = 720
Порівняння: якби порядок не важливий — C(10,3)
C(10,3) = 10! / (3!·7!) = 120 способів
Відповідь: 720 впорядкованих тройок (розміщень). Без порядку — 120 комбінацій.
Задача 3 — Умовна ймовірність
З ящика з 5 червоних і 3 синіх кулі витягують послідовно 2 кулі без повернення. Знайти ймовірність, що обидві — червоні
Дано:5 червоних, 3 сині — всього 8; витягуємо 2 без повернення
Крок 1: P(1-а червона)
P(A₁) = 5/8
Крок 2: P(2-а червона | 1-а вже червона)
P(A₂|A₁) = 4/7 (залишилось 4 червоних з 7 кулей)
Крок 3: P(обидві червоні)
P(A₁∩A₂) = P(A₁)·P(A₂|A₁) = (5/8)·(4/7) = 20/56 = 5/14
Відповідь: P = 5/14 ≈ 0,357 (35,7%)
💡 Перевірка: C(5,2)/C(8,2) = 10/28 = 5/14 ✓ — комбінаторний метод дає той самий результат
Задача 4 — Теорема Байєса
Тест на хворобу: чутливість 95%, специфічність 90%. Хворіє 1% населення. Якщо тест позитивний — яка ймовірність, що людина справді хвора?
Дано:P(H₁)=0,01 (хвора); P(H₂)=0,99 (здорова); P(+|H₁)=0,95; P(+|H₂)=0,10
Крок 1: Формула повної ймовірності позитивного тесту
P(+) = P(H₁)·P(+|H₁) + P(H₂)·P(+|H₂)
P(+) = 0,01·0,95 + 0,99·0,10 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085
Крок 2: Теорема Байєса
P(H₁|+) = P(H₁)·P(+|H₁) / P(+)
P(H₁|+) = 0,0095 / 0,1085 ≈ 0,0876
Відповідь: Лише ≈ 8,8% людей з позитивним тестом справді хворі!
💡 Це «парадокс рідкісної хвороби»: навіть дуже точний тест при рідкісній хворобі дає багато хибно-позитивних. Причина — P(H₁)=1% набагато менша за 90% специфічність. Це знання критичне в медичній діагностиці.
Задача 5 — Ймовірність хоча б однієї події
Стрілець робить 4 постріли. Ймовірність влучення з кожного — 0,7. Знайти ймовірність хоча б 1 влучення
Дано:n = 4, p = 0,7. Постріли незалежні
Крок 1: Через доповнення (простіший спосіб)
P(хоча б 1) = 1 − P(жодного)
Крок 2: P(жодного влучення)
P(0 влучень) = (1−0,7)⁴ = 0,3⁴ = 0,0081
Крок 3: P(хоча б 1)
P(≥1) = 1 − 0,0081 = 0,9919
Відповідь: P ≈ 0,9919 (99,19%)
💡 Завжди рахуйте P(хоча б 1) через ДОПОВНЕННЯ: 1 − P(жодного). Це набагато простіше, ніж рахувати суму P(1)+P(2)+P(3)+P(4)
← Геометрія ← Статистика ↩ Усі задачі

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Теорія ймовірностей — математична основа для аналізу випадкових явищ.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з задачі з теорії ймовірностей демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Задачі з теорії ймовірностей': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з задачі з теорії ймовірностей представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з задачі з теорії ймовірностей найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок задачі з теорії ймовірностей містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з задачі з теорії ймовірностей допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Задачі з теорії ймовірностей' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор ймовірності 🧮 Калькулятор розподілу ймовірностей 💪 Тренажер: Теорія ймовірностей 💪 Поняття теорії ймовірностей 📖 Теорія ймовірностей — повне пояснення 📖 Теорія ймовірностей: базові поняття та розрахунки