📊 Статистика

Задачі зі статистики

5 розв'язаних задач: середнє арифметичне, дисперсія, СКВ, медіана, нормальний розподіл, довірчий інтервал

Ключові формули

Описова статистика
Середнє арифметичнеx̄ = (Σxᵢ) / n
Дисперсія (генеральна)σ² = Σ(xᵢ−x̄)² / n
Вибіркова дисперсіяs² = Σ(xᵢ−x̄)² / (n−1)
Стандартне відхиленняσ = √(σ²)
Коефіцієнт варіаціїCV = σ / x̄ · 100%
Стандартна помилкаSE = σ / √n
Задача 1 — Середнє та медіана
Знайти середнє арифметичне та медіану вибірки оцінок студентів
Дано:
65707280689075886082
n = 10
Крок 1: Середнє арифметичне
x̄ = (65+70+72+80+68+90+75+88+60+82) / 10
x̄ = 750 / 10 = 75
Крок 2: Сортуємо для медіани
Впорядкований ряд:
60656870727580828890
Крок 3: Медіана (n=10, парна — середнє двох центральних)
Me = (72 + 75) / 2 = 73,5
Відповідь: x̄ = 75, Me = 73,5
Задача 2 — Дисперсія та стандартне відхилення
Обчислити дисперсію і СКВ для вибірки: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Дано:
24445579
n = 8
Крок 1: Середнє
x̄ = (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 40 / 8 = 5
Крок 2: (xᵢ − x̄)²
(2−5)²=9; (4−5)²=1; (4−5)²=1; (4−5)²=1; (5−5)²=0; (5−5)²=0; (7−5)²=4; (9−5)²=16
Крок 3: Дисперсія
σ² = (9+1+1+1+0+0+4+16) / 8 = 32/8 = 4
Крок 4: СКВ
σ = √4 = 2
Відповідь: σ² = 4, σ = 2
💡 Це класичний «навчальний» набір Фішера — підібраний так, щоб відповіді вийшли цілими числами
Задача 3 — Нормальний розподіл
Зріст студентів розподілений нормально: μ = 175 см, σ = 8 см. Яка частка студентів має зріст від 167 до 183 см?
Дано:μ = 175, σ = 8, x₁=167, x₂=183
Крок 1: Z-оцінки
z₁ = (167−175) / 8 = −1
z₂ = (183−175) / 8 = +1
Крок 2: Правило 68-95-99.7
Інтервал [μ−σ; μ+σ] = [167; 183] відповідає ±1σ
P(|z| ≤ 1) ≈ 68,27%
Відповідь:68,3% студентів мають зріст від 167 до 183 см
💡 Правило трьох сигм: ±1σ ≈ 68%, ±2σ ≈ 95%, ±3σ ≈ 99,7%
Задача 4 — Коефіцієнт варіації
Порівняти розкид двох груп: Група A: x̄=50, σ=10; Група B: x̄=200, σ=30
Дано:Група A: x̄=50, σ=10; Група B: x̄=200, σ=30
Крок 1: CV для групи A
CV_A = 10/50 · 100% = 20%
Крок 2: CV для групи B
CV_B = 30/200 · 100% = 15%
Відповідь: Група A відносно більш різнорідна (CV=20%), хоча σ_B > σ_A — абсолютно. Коефіцієнт варіації порівнює різнорідність незалежно від масштабу.
Задача 5 — Довірчий інтервал
Вибірка з 36 вимірювань дала x̄=100, σ=12. Побудувати 95% довірчий інтервал для середнього
Дано:n=36, x̄=100, σ=12, рівень довіри 95%
Крок 1: Стандартна помилка
SE = σ / √n = 12 / √36 = 12/6 = 2
Крок 2: Z-критичне для 95%
z₀,₉₅ = 1,96
Крок 3: Межі довірчого інтервалу
ДІ = x̄ ± z · SE = 100 ± 1,96 · 2
ДІ = [100 − 3,92; 100 + 3,92] = [96,08; 103,92]
Відповідь: 95% ДІ = [96,1; 103,9]
💡 Інтерпретація: «З ймовірністю 95% генеральне середнє знаходиться між 96,1 і 103,9»

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Статистика дозволяє робити обґрунтовані висновки з даних у будь-якій науці.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з задачі зі статистики демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Задачі зі статистики': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з задачі зі статистики представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з задачі зі статистики найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок задачі зі статистики містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з задачі зі статистики допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Задачі зі статистики' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.