📐 Геометрія

Задачі з геометрії

5 розв'язаних задач: площа трикутника і кола, теорема Піфагора, подібні трикутники, об'єм тіл обертання

Ключові формули

Планіметрія — площі
Трикутник (основа × висота)S = ½·a·h
Формула ГеронаS = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p=(a+b+c)/2
КолоS = πr²
Сектор колаS = ½r²φ (φ в рад)
Теорема Піфагораc² = a² + b²
Стереометрія — об'єми
КуляV = (4/3)πr³
ЦиліндрV = πr²h
КонусV = (1/3)πr²h
Піраміда (загальна)V = (1/3)·S_основи·h
Задача 1 — Формула Герона
Знайти площу трикутника зі сторонами a = 5, b = 7, c = 8 см
Дано:a = 5, b = 7, c = 8
Крок 1: Напівпериметр
p = (5 + 7 + 8) / 2 = 20 / 2 = 10
Крок 2: Формула Герона
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))
S = √(10 · (10−5) · (10−7) · (10−8))
S = √(10 · 5 · 3 · 2) = √300 = 10√3 ≈ 17,32 см²
Відповідь: S = 10√3 ≈ 17,32 см²
Задача 2 — Теорема Піфагора
Прямокутний трикутник: катети 6 і 8 см. Знайти гіпотенузу і висоту, проведену до гіпотенузи
Дано:a = 6 см, b = 8 см, прямий кут між a і b
Крок 1: Гіпотенуза
c = √(a² + b²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см
Крок 2: Площа трикутника (двома способами)
S = ½·6·8 = 24 см²
S = ½·c·h → h = 2S/c = 2·24/10 = 4,8 см
Відповідь: c = 10 см, h = 4,8 см
💡 «Єгипетський трикутник» 3-4-5 (або 6-8-10) — найвідоміший прямокутний трикутник. Давньоєгипетські будівельники натягали мотузку з 12 вузлів для побудови прямих кутів
Задача 3 — Подібні трикутники
Два подібних трикутники. Сторони меншого: 3, 4, 5. Найбільша сторона більшого = 15. Знайти периметр більшого і відношення площ
Дано:Трикутник 1: a=3, b=4, c=5. Трикутник 2: c'=15
Крок 1: Коефіцієнт подібності
k = c' / c = 15 / 5 = 3
Крок 2: Сторони більшого трикутника
a' = 3·3 = 9; b' = 4·3 = 12; c' = 15
P' = 9 + 12 + 15 = 36
Крок 3: Відношення площ = k²
S₁/S₂ = 1/k² = 1/9
S₁ = ½·3·4 = 6; S₂ = 6·9 = 54 см²
Відповідь: P' = 36; відношення площ S₁:S₂ = 1:9; S₂ = 54 см²
💡 Ключове правило: якщо лінійний масштаб k, то площі відносяться як k², а об'єми — як k³
Задача 4 — Площа сектора кола
Знайти довжину дуги і площу сектора кола радіуса R = 10 см з центральним кутом 72°
Дано:R = 10 см, α = 72°
Крок 1: Переводимо в радіани
α = 72° · π/180° = 2π/5 рад ≈ 1,257 рад
Крок 2: Довжина дуги
l = R·α = 10 · 2π/5 = 4π ≈ 12,57 см
Крок 3: Площа сектора
S = ½·R²·α = ½·100·(2π/5) = 20π ≈ 62,83 см²
Перевірка: 72°/360° = 1/5 від кола → S = (1/5)·π·100 = 20π ✓
Відповідь: l = 4π ≈ 12,6 см; S = 20π ≈ 62,8 см²
Задача 5 — Об'єми тіл обертання
Циліндр і вписаний конус мають однакову основу r = 5 см і висоту h = 12 см. Знайти об'єм кожного і їх різницю
Дано:R = r = 5 см, h = 12 см
Крок 1: Об'єм циліндра
V_цил = π·r²·h = π·25·12 = 300π ≈ 942,5 см³
Крок 2: Об'єм конуса
V_кон = (1/3)·π·r²·h = (1/3)·300π = 100π ≈ 314,2 см³
Крок 3: Різниця
ΔV = 300π − 100π = 200π ≈ 628,3 см³
Відношення: V_кон / V_цил = 1/3 (завжди, при рівних r і h)
Відповідь: V_цил ≈ 942,5 см³; V_кон ≈ 314,2 см³; конус = ⅓ циліндра
💡 Архімед довів, що куля = ⅔ описаного циліндра (його улюблений результат, зображений на надгробку)

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Геометрія — інструмент для опису форм і просторових відношень у реальному світі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з задачі з геометрії демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Задачі з геометрії': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з задачі з геометрії представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з задачі з геометрії найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок задачі з геометрії містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з задачі з геометрії допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Задачі з геометрії' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.