Алгебра · Початковий рівень

Квадратні рівняння: повний розбір

5 методів розв'язання з деталізацією кожного кроку та типовими помилками

Квадратне рівняння — рівняння вигляду ax² + bx + c = 0, де a ≠ 0. Зустрічається в десятках практичних задач: траєкторія кидку, площа, фізичні процеси, оптимізація.

ax² + bx + c = 0, де a ≠ 0
1. Дискримінант 2. Теорема Вієта 3. Повний квадрат 4. Розклад 5. Графік

Метод 1 — Формула дискримінанта

Найуніверсальніший метод. Підходить для будь-якого квадратного рівняння.

D = b² − 4ac
x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a

Число коренів залежить від знаку D:

D > 0 — два різних корені
x₁ = (−b + √D)/(2a) та x₂ = (−b − √D)/(2a)
D = 0 — один корінь (кратний)
x₁ = x₂ = −b/(2a)
D < 0 — дійсних коренів немає
Є два комплексних кореня: x = (−b ± i√|D|)/(2a)
Приклад 1 — D > 0

Розв'язати: 2x² − 5x + 3 = 0

Визначаємо коефіцієнти
a = 2, b = −5, c = 3
Обчислюємо дискримінант
D = (−5)² − 4·2·3 = 25 − 24 = 1
D = 1 > 0 → два корені
x₁ = (5 + 1)/4 = 6/4 = 1.5
x₂ = (5 − 1)/4 = 4/4 = 1
Перевірка (підставляємо x₁ = 1.5)
2·(1.5)² − 5·1.5 + 3 = 4.5 − 7.5 + 3 = 0 ✓
Відповідь: x₁ = 1.5, x₂ = 1
Приклад 2 — D = 0

Розв'язати: x² − 6x + 9 = 0

Коефіцієнти
a = 1, b = −6, c = 9
Дискримінант
D = 36 − 36 = 0
Один корінь
x = 6/(2·1) = 3
Відповідь: x = 3 (подвійний)

Метод 2 — Теорема Вієта

Якщо рівняння x² + px + q = 0 (приведене), то корені задовольняють:

x₁ + x₂ = −p (= −b/a)
x₁ · x₂ = q (= c/a)

Метод зручний для «красивих» рівнянь де корені — цілі числа.

Приклад 3 — по Вієту

Розв'язати: x² − 7x + 12 = 0

За теоремою Вієта
x₁ + x₂ = 7, x₁ · x₂ = 12
Підбираємо пару чисел
Пари з добутком 12: (1,12), (2,6), (3,4). Яка дає суму 7?
3 + 4 = 7 ✓
Відповідь
x₁ = 3, x₂ = 4
Відповідь: x₁ = 3, x₂ = 4. Перевірка: 3+4=7 ✓, 3·4=12 ✓

Метод 3 — Виділення повного квадрата

Перетворюємо рівняння до виду (x − h)² = k.

Приклад 4 — повний квадрат

Розв'язати: x² + 4x − 5 = 0

Виносимо x²+4x у «неповний квадрат»
x² + 4x = (x + 2)² − 4
Підставляємо
(x + 2)² − 4 − 5 = 0 → (x + 2)² = 9
Беремо корінь
x + 2 = ±3 → x = 1 або x = −5
Відповідь: x₁ = 1, x₂ = −5

Метод 4 — Розклад на множники

Якщо корені відомі (або підбираємо), розкладаємо:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
Приклад 5 — розклад

Розв'язати: 6x² − x − 2 = 0

Шукаємо корені методом дискримінанта
D = 1 + 48 = 49; x₁ = (1+7)/12 = 2/3; x₂ = (1−7)/12 = −1/2
Записуємо розклад
6(x − 2/3)(x + 1/2) = (3x − 2)(2x + 1)
Відповідь: x₁ = 2/3, x₂ = −1/2

Метод 5 — Графічний

Корені рівняння ax²+bx+c=0 — це точки перетину параболи y = ax²+bx+c з віссю Ox. Вершина параболи: x₀ = −b/(2a), y₀ = c − b²/(4a).

Цей метод дає наближені значення. Для точних відповідей використовуйте алгебраїчні методи.

Типові помилки

Знак b при підстановці в формулу
Якщо b = −5, то −b = 5 (не −(−5) = −5!). Уважно з подвійними мінусами
Забути випадок D = 0
Якщо D = 0, відповідь одна (не «немає коренів» і не «два однакових»)
Ділення перед перевіркою
Завжди підставляй корені назад у ВИХІДНЕ рівняння для перевірки
🧮 Калькулятор квадратних рівнянь → Похідні ↩ Усі розв'язання

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Алгоритми та структури даних — ядро комп'ютерних наук та практичного програмування.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з квадратні рівняння демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Квадратні рівняння': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з квадратні рівняння представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з квадратні рівняння найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок квадратні рівняння містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з квадратні рівняння допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Квадратні рівняння' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Розв'язання квадратних рівнянь 🧮 Розв'язання квадратних рівнянь 💪 Тренажер: Квадратні рівняння 📖 Квадратні рівняння від А до Я: дискримінант, корені, методи розв'язання 📖 Квадратні рівняння: всі методи розв'язання з прикладами 📐 Квадратне рівняння — Формула, теорія та приклади