📐 Квадратне рівняння
Формула для знаходження коренів квадратного рівняння через дискримінант — одна з найважливіших формул алгебри, що дозволяє розв'язувати рівняння виду ax² + bx + c = 0.
📚 Теорія
Що таке квадратне рівняння?
Квадратне рівняння — це алгебраїчне рівняння другого степеня, яке має загальний вигляд:
- a — старший коефіцієнт (при x²)
- b — середній коефіцієнт (при x)
- c — вільний член
Дискримінант
Дискримінант — це число, яке визначає кількість та тип коренів квадратного рівняння:
- D > 0 — рівняння має два різних дійсних корені
- D = 0 — рівняння має один дійсний корінь (кратний)
- D < 0 — рівняння не має дійсних коренів (два комплексних)
Формула коренів
Корені квадратного рівняння знаходяться за формулою:
Або в розгорнутому вигляді:
x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a
Теорема Вієта
Для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 з коренями x₁ та x₂:
x₁ · x₂ = c/a
Неповні квадратні рівняння
- ax² + bx = 0 (с = 0): x(ax + b) = 0 → x₁ = 0, x₂ = -b/a
- ax² + c = 0 (b = 0): x² = -c/a → x = ±√(-c/a) (якщо -c/a ≥ 0)
- ax² = 0 (b = c = 0): x = 0 (єдиний корінь)
Виділення повного квадрата
Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити до вигляду:
Графічний зміст
Квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 — це точки перетину параболи y = ax² + bx + c з віссю Ox.
Вершина параболи:
- a > 0 — парабола відкрита вгору (∨)
- a < 0 — парабола відкрита донизу (∩)
🧮 Інтерактивний калькулятор
✏️ Приклади розв'язання
Приклад 1: Два різних корені
Крок 1: Визначаємо коефіцієнти: a = 1, b = -5, c = 6
Крок 2: Обчислюємо дискримінант: D = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1
Крок 3: D > 0, тому рівняння має два різних корені:
x₁ = (5 + 1) / 2 = 3
x₂ = (5 - 1) / 2 = 2
Приклад 2: Один корінь
Крок 1: a = 1, b = -6, c = 9
Крок 2: D = (-6)² - 4·1·9 = 36 - 36 = 0
Крок 3: D = 0, тому рівняння має один корінь:
x = 6 / 2 = 3
Приклад 3: Немає дійсних коренів
Крок 1: a = 1, b = 2, c = 5
Крок 2: D = 2² - 4·1·5 = 4 - 20 = -16
Крок 3: D < 0, тому рівняння не має дійсних коренів.
Комплексні корені: x₁ = -1 + 2i, x₂ = -1 - 2i
Приклад 4: Неповне рівняння (b = 0)
3x² = 27 → x² = 9
x = ±√9 = ±3
Приклад 5: Теорема Вієта
За теоремою Вієта (a = 1):
x₁ + x₂ = -2 + 5 = 3 = -b → b = -3
x₁ · x₂ = -2 · 5 = -10 = c → c = -10
Приклад 6: Прикладна задача
15 = 20t - 4.9t²
4.9t² - 20t + 15 = 0
D = 400 - 4·4.9·15 = 400 - 294 = 106
t₁ = (20 + √106)/9.8 ≈ 3.10 с (під час спуску)
t₂ = (20 - √106)/9.8 ≈ 0.99 с (під час підйому)
⚠️ Типові помилки
- Забувають перевірити a ≠ 0 (інакше це лінійне рівняння)
- Помилка зі знаком у формулі: x = (-b ± ...), а не (b ± ...)
- Неправильне обчислення D: D = b² - 4ac, не b² + 4ac і не b² - 4a
- Забувають ділити на 2a, а не на 2
- Плутають теорему Вієта: сума = -b/a (зі знаком мінус!)
- При D = 0 пишуть «немає коренів» замість «один корінь (кратний)»
- Не перевіряють відповідь підстановкою в початкове рівняння
📜 Історія
~2000 років до н.е. — Вавилон
Давні вавилоняни вміли розв'язувати квадратні рівняння геометричними методами, хоча не мали символічного запису.
~300 років до н.е. — Евклід
Давньогрецький математик описав геометричний метод розв'язання квадратних рівнянь у своїх "Началах".
628 рік — Брахмагупта (Індія)
Індійський математик вперше дав загальну формулу для квадратних рівнянь, включаючи від'ємні корені.
820 рік — Аль-Хорезмі
Персидський математик систематизував методи розв'язання та ввів термін "алгебра" (аль-джабр).
XVI століття — Європа
Введення символічного запису дозволило записати формулу в сучасному вигляді.
🎯 Застосування
🏗️ Інженерія
Розрахунок траєкторій, оптимізація конструкцій, аналіз коливань та вібрацій.
📊 Економіка
Моделювання прибутку, точка беззбитковості, оптимізація витрат.
🔬 Фізика
Рух тіла під дією сили тяжіння, кінематика, енергетичні рівняння.
🎮 Комп'ютерна графіка
Перетин променя з поверхнями, обчислення траєкторій у іграх.
🔗 Пов'язані формули
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.