Похибки вимірювань і невизначеність: довідник

Типи похибок

Систематична похибка

Незмінне відхилення в одному напрямку

Причини: калібрування приладів, методика

Не зменшується при більшій кількості вимірювань

Випадкова похибка

Статистичні коливання навколо середнього

Причини: шум, флуктуації

Зменшується: σ_ср = σ / √n

Груба похибка (промах)

Значно відхиляється від середнього

Критерій 3σ: |xᵢ − x̄| > 3σ

Тест Груббса, Чованета

Точність і прецизійність

Точність = близькість до істинного значення

Прецизійність = відтворюваність результату

Описова статистика вимірювань

Середнє значення

x̄ = (Σxᵢ) / n = (x₁+x₂+...+xₙ)/n

Дисперсія

s² = Σ(xᵢ−x̄)² / (n−1) (вибіркова)

σ² = Σ(xᵢ−μ)² / N (генеральна)

Стандартне відхилення

s = √(Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1))

Похибка середнього: s_x̄ = s / √n

Відносна похибка

δ = (Δx / x̄) × 100%

δ = (s / x̄) × 100% (коефіцієнт варіації)

Медіана і квантілі

Медіана: середнє значення при сортуванні

IQR = Q₃ − Q₁ (міжквартильний розмах)

Викиди: < Q₁−1.5·IQR або > Q₃+1.5·IQR

Стандартна похибка середнього

SE = s / √n

95% ДІ: x̄ ± t_{α/2,n-1} · SE

Поширення похибок

Якщо y = f(x₁, x₂, ..., xₙ) і кожне xᵢ має невизначеність Δxᵢ:

Загальна формула

Δy = √(Σ(∂f/∂xᵢ · Δxᵢ)²)

(квадратурна сума — незалежні похибки)

Сума / різниця: y = a ± b

Δy = √(Δa² + Δb²)

Добуток / ділення: y = a·b або a/b

δy = √(δa² + δb²)

де δ = відносна похибка

Степінь: y = aⁿ

δy = |n| · δa

Логарифм: y = ln(a)

Δy = Δa / a

Тригонометрична: y = sin(θ)

Δy = |cos(θ)| · Δθ

Δθ має бути в радіанах!

💡 Правило: при множенні/діленні додаються квадрати ВІДНОСНИХ похибок, при додаванні/відніманні — квадрати АБСОЛЮТНИХ похибок.

Побудова таблиці поширення похибок (приклад)

Функція y=	Формула Δy або δy
x₁ + x₂	Δy = √(Δx₁² + Δx₂²)
x₁ · x₂	δy = √(δx₁² + δx₂²)
x₁ / x₂	δy = √(δx₁² + δx₂²)
x₁ⁿ	δy = \|n\|·δx₁
ln(x₁)	Δy = Δx₁/x₁
e^x₁	Δy = e^x₁ · Δx₁ або δy = Δx₁
sin(x₁)	Δy = \|cos(x₁)\| · Δx₁
√x₁	δy = δx₁/2

Значущі цифри та округлення

Правила значущих цифр

Ненульові цифри — значущі

Нулі між значущими — значущі

Ведучі нулі (0.003) — незначущі

Кінцеві нулі після . — значущі

Арифметика значущих цифр

+ і −: результат ≤ найменшого десяток. знаку

× і /: результат ≤ найменшій кількості зн. цифр

Запис результату

x = x̄ ± Δx (одиниці)

Δx: 1–2 значущі цифри

x̄ округляти до рівня Δx

💡 Стандарт GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement): невизначеність типу A — статистична оцінка, типу B — на основі специфікацій, попереднього досвіду. Комбінована: u_c = √(u_A² + u_B²).

← Чисельні методи Workflow аналізу даних → ↩ Усі гіди

Як користуватися шпаргалкою

Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.

Теорія відносності описує простір, час та гравітацію в єдиній математичній системі.

Ефективне використання

Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.

Часті запитання (FAQ)

Які ключові формули та правила містить шпаргалка з похибки вимірювань і невизначеність?

Ця шпаргалка з 'Похибки вимірювань і невизначеність' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.

Для кого призначена ця шпаргалка з похибки вимірювань і невизначеність?

Шпаргалка з 'Похибки вимірювань і невизначеність' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.

Як використовувати шпаргалку з похибки вимірювань і невизначеність при підготовці до іспиту?

Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.

Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з похибки вимірювань і невизначеність?

Шпаргалка з 'Похибки вимірювань і невизначеність' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.

Де ще можна попрактикуватися з похибки вимірювань і невизначеність після вивчення шпаргалки?

Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.