Чисельні методи: довідник — бісекція, метод Ньютона, Рунге-Кутта

Q: Які ключові формули та правила містить шпаргалка з довідник?

Ця шпаргалка з 'Довідник' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.

Q: Для кого призначена ця шпаргалка з довідник?

Шпаргалка з 'Довідник' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.

Q: Як використовувати шпаргалку з довідник при підготовці до іспиту?

Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.

Q: Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з довідник?

Шпаргалка з 'Довідник' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.

Q: Де ще можна попрактикуватися з довідник після вивчення шпаргалки?

Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.

Методи розв'язання нелінійних рівнянь f(x) = 0

Метод бісекції (ділення навпіл)

Дано: f(a)·f(b) < 0

c = (a + b) / 2

Якщо f(a)·f(c) < 0 → b=c, інакше a=c

Збіжність: |bₙ−aₙ| = (b−a)/2ⁿ

Метод Ньютона (дотичних)

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ)

Збіжність: квадратична (≈ 2-й порядок)

Потрібно: f'(x) ≠ 0, хороше x₀

Метод хорд (Регула Фальсі)

xₙ₊₁ = a − f(a)·(b−a)/(f(b)−f(a))

або: c = (a·f(b)−b·f(a))/(f(b)−f(a))

Збіжність: надлінійна

Метод простої ітерації

f(x) = 0 ⟹ x = g(x)

xₙ₊₁ = g(xₙ)

Умова збіжності: |g'(x)| < 1

Метод секущих

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)·(xₙ−xₙ₋₁)/(f(xₙ)−f(xₙ₋₁))

Не потрібна f'(x)

Збіжність: надлінійна (~1.618)

Критерій зупинки

|xₙ₊₁ − xₙ| < ε (абсолютна)

|f(xₙ)| < δ (за значенням)

Або за кількістю ітерацій

Чисельне інтегрування ∫ₐᵇ f(x) dx

Метод прямокутників

I ≈ h · Σᵢ f(xᵢ) (ліві/праві)

I ≈ h · Σᵢ f((xᵢ+xᵢ₊₁)/2) (серединні)

h = (b−a)/n

Похибка: O(h) або O(h²) для серед.

Метод трапецій

I ≈ h/2 · [f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)]

h = (b−a)/n

Похибка: O(h²) = −(b−a)h²f''(ξ)/12

Метод Сімпсона (1/3)

I ≈ h/3·[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + ... + fₙ]

n — парне, h = (b−a)/n

Похибка: O(h⁴) (точніший!)

Метод Сімпсона 3/8

I ≈ 3h/8·[f₀ + 3f₁ + 3f₂ + 2f₃ + ... + fₙ]

n ділиться на 3

Похибка: O(h⁴)

Квадратура Гаусса

∫₋₁¹ f(x)dx ≈ Σwᵢ·f(xᵢ)

xᵢ — корені полінома Лежандра

Точність: 2n−1 ступінь для n точок

Метод Ромберга

R(n,m) = [4ᵐ·R(n,m−1) − R(n−1,m−1)] / (4ᵐ−1)

Екстраполяція Річардсона

Похибка: O(h^(2m+2))

💡 Порівняння точності: прямокутники O(h²) < трапеція O(h²) < Сімпсон O(h⁴) < Гаусс. Для гладких функцій — Сімпсон або Гаусс. Для розривних — трапеція.

Чисельне диференціювання

Перша похідна

Вперед: f'(x) ≈ [f(x+h)−f(x)] / h O(h)

Назад: f'(x) ≈ [f(x)−f(x−h)] / h O(h)

Центр.: f'(x) ≈ [f(x+h)−f(x−h)] / 2h O(h²)

Друга похідна

f''(x) ≈ [f(x+h)−2f(x)+f(x−h)] / h²

Похибка: O(h²)

Практичний вибір h

Занадто малий h → похибка округлення

Занадто великий h → похибка усічення

Оптимум: h ≈ √ε_маш ≈ 10⁻⁸

Методи розв'язання ОДУ (y' = f(x,y))

Метод Ейлера (явний)

yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ)

xₙ₊₁ = xₙ + h

Похибка: O(h) (перший порядок)

Метод Ейлера (неявний)

yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ₊₁, yₙ₊₁)

Потрібно розв'язати відносно yₙ₊₁

Стійкіший для жорстких задач

Модифікований Ейлер (Хойн)

k₁ = h·f(xₙ, yₙ)

k₂ = h·f(xₙ+h, yₙ+k₁)

yₙ₊₁ = yₙ + (k₁ + k₂) / 2

Похибка: O(h²)

Рунге-Кутта 4-го порядку (RK4)

k₁ = h·f(xₙ, yₙ)

k₂ = h·f(xₙ+h/2, yₙ+k₁/2)

k₃ = h·f(xₙ+h/2, yₙ+k₂/2)

k₄ = h·f(xₙ+h, yₙ+k₃)

yₙ₊₁ = yₙ + (k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6

Похибка: O(h⁴)

Інтерполяція та апроксимація

Лінійна інтерполяція

P(x) = y₀ + (y₁−y₀)·(x−x₀)/(x₁−x₀)

Поліном Лагранжа

P(x) = Σᵢ yᵢ · Lᵢ(x)

Lᵢ(x) = Πⱼ≠ᵢ (x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ)

МНК (лінійна регресія)

y = a + b·x

b = (n·Σxy − Σx·Σy) / (n·Σx² − (Σx)²)

a = (Σy − b·Σx) / n

Сплайн-інтерполяція

Кубічні сплайни: C² неперервність

pᵢ(x) = aᵢ+bᵢ(x−xᵢ)+cᵢ(x−xᵢ)²+dᵢ(x−xᵢ)³

💡 RK4 — золотий стандарт для звичайних ОДУ: гарне співвідношення точності й складності обчислень. Для жорстких систем (stiff) краще використовувати неявні методи (напр., TR-BDF2).

← Матриці Похибки вимірювань → ↩ Усі гіди

Як користуватися шпаргалкою

Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.

Шпаргалка охоплює: формули площ та периметрів, об'єми тіл, теореми синусів і косинусів, координатна геометрія, рівняння кривих.

Ефективне використання

Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.

Часті запитання (FAQ)

Які ключові формули та правила містить шпаргалка з довідник?

Ця шпаргалка з 'Довідник' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.

Для кого призначена ця шпаргалка з довідник?

Шпаргалка з 'Довідник' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.

Як використовувати шпаргалку з довідник при підготовці до іспиту?

Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.

Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з довідник?

Шпаргалка з 'Довідник' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.

Де ще можна попрактикуватися з довідник після вивчення шпаргалки?

Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.

Довідник: чисельні методи

Методи розв'язання нелінійних рівнянь f(x) = 0

Чисельне інтегрування ∫ₐᵇ f(x) dx

Чисельне диференціювання

Методи розв'язання ОДУ (y' = f(x,y))

Інтерполяція та апроксимація

Як користуватися шпаргалкою

Ефективне використання

Часті запитання (FAQ)

🔗 Також за темою