Чисельні методи: розв'язані задачі

Q: Які методи розв'язання задач з чисельні методи демонструються на цій сторінці?

Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Чисельні методи': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.

Q: Якого рівня складності задачі з чисельні методи представлені?

Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.

Q: Як вчитися на розв'язаних задачах з чисельні методи найефективніше?

Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.

Q: Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?

Так, кожен розв'язок чисельні методи містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.

Q: Як ці задачі з чисельні методи допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?

Розв'язані задачі з 'Чисельні методи' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

Метод Ньютона-Рафсона: знайти √2

Знайти √2 методом Ньютона-Рафсона з точністю ε = 10⁻⁶, починаючи з x₀ = 1.5.

Зводимо до пошуку кореня: f(x) = x² − 2 = 0.

Ітераційна формула Ньютона-Рафсона: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ) f(x) = x² - 2, f'(x) = 2x xₙ₊₁ = xₙ - (xₙ² - 2)/(2xₙ) = (xₙ + 2/xₙ)/2

Ітерація 0: x₀ = 1.5, f(x₀) = 0.25

Ітерація 1: x₁ = (1.5 + 2/1.5)/2 = (1.5 + 1.333…)/2 = 1.416667

Ітерація 2: x₂ = (1.416667 + 2/1.416667)/2 = 1.414216

Ітерація 3: x₃ = (1.414216 + 2/1.414216)/2 = 1.414214

Перевірка: |x₃ − x₂| = 0.000002 < 10⁻⁵ → збіглось!

Відповідь: √2 ≈ 1.414214 (3 ітерації, квадратична збіжність)

Метод бісекції (поділу навпіл)

Знайти корінь рівняння x³ − x − 2 = 0 на відрізку [1, 2] з точністю 0.01.

Умова: f(a)·f(b) < 0 (різні знаки на кінцях) f(1) = 1-1-2 = -2 < 0 f(2) = 8-2-2 = 4 > 0 ✓ різні знаки Алгоритм: 1. c = (a+b)/2 2. якщо f(c)=0 або (b-a)/2 < ε → стоп 3. якщо f(a)·f(c) < 0 → b=c, інакше → a=c

Крок 1: c = 1.5, f(1.5) = 3.375-1.5-2 = -0.125 < 0 → a=1.5, b=2

Крок 2: c = 1.75, f(1.75) = 5.359-1.75-2 = 1.609 > 0 → a=1.5, b=1.75

Крок 3: c = 1.625, f(1.625) = 4.291-1.625-2 = 0.666 > 0 → a=1.5, b=1.625

Крок 4: c = 1.5625, f(1.5625) = 3.814-1.5625-2 = 0.251 > 0 → a=1.5, b=1.5625

Крок 5: c = 1.531, f(1.531) ≈ 0.059 > 0; крок 6: c=1.515, f ≈ −0.033; крок 7: c=1.523, |b-a|=0.008 < 0.01 → стоп

Відповідь: корінь x ≈ 1.521 (7 ітерацій, лінійна збіжність — відрізок ділиться вдвічі)

Метод Ейлера для ДРУ

Розв'язати задачу Коші: dy/dx = y, y(0) = 1, на відрізку [0, 0.5] з кроком h = 0.1. Точний розв'язок: y = eˣ.

Метод Ейлера: yₙ₊₁ = yₙ + h · f(xₙ, yₙ) де f(x,y) = y (для dy/dx = y)

y₀: x=0.0, y=1.000000, точне: 1.000000, похибка: 0.000000

y₁: y₁ = 1.0 + 0.1·1.0 = 1.100000; точне e^0.1 = 1.105171; похибка: 0.005171

y₂: y₂ = 1.1 + 0.1·1.1 = 1.210000; точне e^0.2 = 1.221403; похибка: 0.011403

y₃: y₃ = 1.21 + 0.1·1.21 = 1.331000; точне e^0.3 = 1.349859; похибка: 0.018859

y₄: y₄ = 1.464100; точне e^0.4 = 1.491825; похибка: 0.027725

y₅: y₅ = 1.610510; точне e^0.5 = 1.648721; похибка: 0.038211

Порядок методу Ейлера: O(h) — локальна похибка O(h²) Метод Рунге-Кутти 4-го порядку: O(h⁴) — набагато точніший!

Відповідь: y(0.5) ≈ 1.6105 (похибка ~2.3%). Зменшення h вдвічі знижує похибку вдвічі (1-й порядок).

Формула трапецій і Сімпсона

Обчислити ∫₀¹ eˣ dx за формулою трапецій та Сімпсона з n=4 підінтервалами. Точна відповідь: e − 1 ≈ 1.71828.

Формула трапецій (n рівних частин, h=(b-a)/n): ∫ₐᵇ f(x)dx ≈ h/2 · [f(x₀) + 2f(x₁) +…+ 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)] Формула Сімпсона (n парне): ∫ₐᵇ f(x)dx ≈ h/3 · [f(x₀)+4f(x₁)+2f(x₂)+4f(x₃)+…+f(xₙ)]

Вузли: x₀=0, x₁=0.25, x₂=0.5, x₃=0.75, x₄=1.0; h=0.25

f(xᵢ)=eˣⁱ: 1.0000, 1.2840, 1.6487, 2.1170, 2.7183

Трапецій: 0.25/2·[1+2·1.2840+2·1.6487+2·2.1170+2.7183] = 0.125·[1+2.568+3.2974+4.234+2.7183] = 0.125·13.8177 = 1.72721

Похибка трапецій: |1.72721−1.71828| = 0.00893 (O(h²))

Сімпсона: 0.25/3·[1+4·1.284+2·1.6487+4·2.117+2.7183] = 0.08333·[1+5.136+3.2974+8.468+2.7183] = 0.08333·20.6197 = 1.71831

Похибка Сімпсона: |1.71831−1.71828| = 0.00003 (O(h⁴) — набагато краще!)

Відповідь: трапецій ≈ 1.72721 (похибка 0.5%), Сімпсона ≈ 1.71831 (похибка 0.002%)

LU-розклад: система лінійних рівнянь

Розв'язати систему: 2x + y = 5, 4x + 3y = 11 методом LU-розкладу.

Матрична форма: Ax = b A = [[2,1],[4,3]], b = [5,11] LU-розклад: A = L·U L = [[1,0],[l₂₁,1]], U = [[u₁₁,u₁₂],[0,u₂₂]] Крок 1: u₁₁=2, u₁₂=1 Крок 2: l₂₁ = a₂₁/u₁₁ = 4/2 = 2 Крок 3: u₂₂ = a₂₂ - l₂₁·u₁₂ = 3 - 2·1 = 1 L = [[1,0],[2,1]], U = [[2,1],[0,1]]

Пряма підстановка Ly=b: y₁=5; 2·5+y₂=11 → y₂=1

Зворотна підстановка Ux=y: u₂₂·x₂=y₂ → x₂=1; 2x₁+1·1=5 → x₁=2

Відповідь: x=2, y=1. Перевірка: 2·2+1=5 ✓, 4·2+3·1=11 ✓

Інтерполяція Лагранжа

За вузлами (0,1), (1,3), (2,7) побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа і знайти f(1.5).

Поліном Лагранжа: L(x) = Σᵢ yᵢ · Πⱼ≠ᵢ (x-xⱼ)/(xᵢ-xⱼ) x₀=0,y₀=1; x₁=1,y₁=3; x₂=2,y₂=7 L₀(x) = (x-1)(x-2)/((0-1)(0-2)) = (x-1)(x-2)/2 L₁(x) = (x-0)(x-2)/((1-0)(1-2)) = x(x-2)/(-1) = -x(x-2) L₂(x) = (x-0)(x-1)/((2-0)(2-1)) = x(x-1)/2 L(x) = 1·(x-1)(x-2)/2 - 3·x(x-2) + 7·x(x-1)/2

Спрощення: L(x) = (x²-3x+2)/2 - 3x²+6x + (7x²-7x)/2 = (x²-3x+2)/2 + (-6x²+12x)/2 + (7x²-7x)/2 = (x²-3x+2-6x²+12x+7x²-7x)/2 = (2x²+2x+2)/2 = x²+x+1

Перевірка: L(0)=1 ✓, L(1)=3 ✓, L(2)=7 ✓

Обчислення: L(1.5) = (1.5)² + 1.5 + 1 = 2.25+1.5+1 = 4.75

Відповідь: f(1.5) ≈ 4.75. Поліном L(x) = x² + x + 1 проходить через всі три точки.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з чисельні методи демонструються на цій сторінці?

Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Чисельні методи': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.

Якого рівня складності задачі з чисельні методи представлені?

Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.

Як вчитися на розв'язаних задачах з чисельні методи найефективніше?

Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.

Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?