📊 Матриці

Шпаргалка: операції над матрицями

Множення, транспонування, обернення, визначник, ранг та сліди — алгоритми й формули

Типи матриць

НазваУмоваПриклад
Квадратнаm = nA (n×n)
ОдиничнаAᵢⱼ = δᵢⱼI: діагональ=1, решта=0
НульоваAᵢⱼ = 00
ДіагональнаAᵢⱼ = 0 при i≠jdiag(d₁,d₂,...)
СиметричнаA = AᵀAᵢⱼ = Aⱼᵢ
АнтисиметричнаA = −AᵀAᵢⱼ = −Aⱼᵢ, Aᵢᵢ=0
ОртогональнаAᵀA = IA⁻¹ = Aᵀ
ВерхньотрикутнаAᵢⱼ = 0 при i>jU
НижньотрикутнаAᵢⱼ = 0 при i<jL

Основні операції

Додавання / Віднімання
(A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ
Умова: однакові розміри
Комутативне: A+B = B+A
Множення на скаляр
(c·A)ᵢⱼ = c·Aᵢⱼ
c·(A+B) = c·A + c·B
(c+d)·A = c·A + d·A
Матричне множення
(AB)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ·Bₖⱼ
Умова: A (m×p), B (p×n) → AB (m×n)
AB ≠ BA (в загальному)
Елементне множення (Адамара)
(A ⊙ B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ · Bᵢⱼ
Умова: однакові розміри
Комутативне: A⊙B = B⊙A

Транспонування

Визначення
(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ
Рядки ↔ Стовпці
A (m×n) → Aᵀ (n×m)
Властивості
(Aᵀ)ᵀ = A
(A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
(c·A)ᵀ = c·Aᵀ
Симетрична матриця
A симетрична ⟺ Aᵀ = A
AᵀA завжди симетрична та ≥ 0

Визначник (Детермінант)

det(A) для 1×1 і 2×2
1×1: det([a]) = a
2×2: ad − bc
|a b| — використовуйте цей запис
|c d|
Розклад Лапласа (по рядку i)
det(A) = Σⱼ Aᵢⱼ·Cᵢⱼ
Cᵢⱼ = (−1)^(i+j)·Mᵢⱼ
Mᵢⱼ — мінор (det підматриці)
Властивості
det(I) = 1
det(AB) = det(A)·det(B)
det(Aᵀ) = det(A)
det(A⁻¹) = 1/det(A)
det(c·A) = cⁿ·det(A)
При елементарних операціях
Swap рядків → знак змінюється
Рядок × c → det × c
Додати k·рядóк → det не змін.

Обернена матриця

Існування
A⁻¹ існує ⟺ det(A) ≠ 0
A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I
Формула для 2×2
A = [a b; c d]
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Метод Гаусса-Жордана
[A | I] → елементарні операції
→ [I | A⁻¹]
Властивості
(AB)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹
(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
(A⁻¹)⁻¹ = A

Ранг матриці

Визначення
rank(A) = кількість ненульових рядків у REF
= dimension Col(A) = dimension Row(A)
Властивості
rank(A) ≤ min(m, n)
rank(Aᵀ) = rank(A)
rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))
Зв'язок з системами рівнянь
Ax = b сумісна ⟺ rank(A) = rank(A|b)
Єдиний розв'язок ⟺ rank(A) = n

Слід матриці (trace)

Визначення і властивості
tr(A) = Σᵢ Aᵢᵢ (сума діagonальних)
tr(AB) = tr(BA)
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
tr(A) = Σλᵢ (сума власних значень)

LU-розклад

Розклад
A = L·U
L — нижньотрикутна (з 1 на діaг.)
U — верхньотрикутна
З частковим вибором (PLU)
P·A = L·U
P — матриця перестановок
Числово стабільніший метод
Застосування
Розв'язання Ax = b за O(n³)
1) L·y = b → y (пряма підстановка)
2) U·x = y → x (зворотна підстановка)
💡 Складність матричного множення A(m×p)·B(p×n): O(m·p·n). Для квадратних n×n — O(n³). Алгоритм Штрассена: O(n^2.807), але складніший у реалізації.
← Лінійна алгебра Чисельні методи → ↩ Усі гіди

Як користуватися шпаргалкою

Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.

Шпаргалка охоплює: операції з матрицями, правило Крамера, метод Гауса, власні числа та вектори, скалярний і векторний добуток, базиси та лінійну залежність.

Ефективне використання

Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.

Часті запитання (FAQ)

Які ключові формули та правила містить шпаргалка з шпаргалка?
Ця шпаргалка з 'Шпаргалка' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.
Для кого призначена ця шпаргалка з шпаргалка?
Шпаргалка з 'Шпаргалка' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.
Як використовувати шпаргалку з шпаргалка при підготовці до іспиту?
Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.
Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з шпаргалка?
Шпаргалка з 'Шпаргалка' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.
Де ще можна попрактикуватися з шпаргалка після вивчення шпаргалки?
Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор оберненої матриці 🧮 Матричний калькулятор 💪 Операції з матрицями: тест 💪 Тренажер: Логічні операції 📖 Матриці: операції та розв'язання систем лінійних рівнянь