Вектори, матриці, визначники, власні значення та вектори, SVD — всі ключові формули та властивості
Вектори
Основні операції
a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
c·a = (c·a₁, c·a₂, c·a₃)
|a| = √(a₁²+a₂²+a₃²)
Скалярний добуток
a·b = |a|·|b|·cosθ
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
a⊥b ⟺ a·b = 0
Векторний добуток (3D)
|a×b| = |a|·|b|·sinθ
a×b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)
a×b = −b×a (антикомутативний)
Проекція та одиничний вектор
proj_b(a) = (a·b/|b|²)·b
â = a / |a| (нормований)
cos θ = (a·b) / (|a|·|b|)
Матриці — базові операції
Додавання і множення на скаляр
(A+B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bᵢⱼ
(c·A)ᵢⱼ = c·Aᵢⱼ
Добуток матриць
(AB)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ·Bₖⱼ
A(BC) = (AB)C (асоціативність)
AB ≠ BA (не комутативне!)
Транспонування
(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
(Aᵀ)ᵀ = A
Властивості
A·I = I·A = A
A·0 = 0·A = 0
A(B+C) = AB + AC
Визначник
Матриця 2×2
det(A) = a·d − b·c
|a b|
|c d| = ad − bc
Матриця 3×3 (Саррюс)
det(A) = a₁₁(a₂₂a₃₃−a₂₃a₃₂)
− a₁₂(a₂₁a₃₃−a₂₃a₃₁)
+ a₁₃(a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁)
Властивості визначника
det(AB) = det(A)·det(B)
det(Aᵀ) = det(A)
det(c·A) = cⁿ·det(A) [n×n]
Обернена матриця
A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I
A⁻¹ існує ⟺ det(A) ≠ 0
2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
💡 Матриця вироджена (singular), якщо det(A) = 0 — обернена матриця не існує, система рівнянь може не мати єдиного розв'язку.
Системи лінійних рівнянь
Матрична форма
Ax = b
Розв'язок: x = A⁻¹·b (якщо A — інвертована)
Правило Крамера (для n×n)
xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
Aᵢ — A з i-м стовп., заміненим на b
Теорема Кронекера-Капеллі
rank(A) = rank(A|b) → система сумісна
rank(A) = n → єдиний розв'язок
rank(A) < n → нескінченно багато
Метод Гаусса
Прямий хід: виключення змінних
Зворотний хід: підстановка
Ступінчаста форма → RREF
Власні значення та власні вектори
Визначення
A·v = λ·v
λ — власне значення (eigenvalue)
v ≠ 0 — власний вектор (eigenvector)
Характеристичне рівняння
det(A − λI) = 0
Розв'яжіть → знайдіть λ
Потім (A−λI)v = 0 → знайдіть v
Властивості
Σλᵢ = tr(A) (слід матриці)
Πλᵢ = det(A)
Симетрична A → λᵢ ∈ ℝ, v⊥
Діагоналізація
A = P·D·P⁻¹
D = діагональна матриця з λᵢ
P = матриця власних векторів
Векторні простори та ортогональність
Базові поняття
Ранг: rank(A) = кількість ненульових рядків у RREF
Nullity: dim(ker(A)) = n − rank(A)
rank + nullity = n (теорема)
Ортогональна матриця
QᵀQ = QQᵀ = I
Q⁻¹ = Qᵀ
|det(Q)| = 1
Процес Грама-Шмідта
u₁ = v₁
u₂ = v₂ − (v₂·u₁/|u₁|²)·u₁
eᵢ = uᵢ / |uᵢ| (нормування)
QR-розклад
A = Q·R
Q — ортогональна m×n
R — верхньотрикутна n×n
SVD (сингулярний розклад)
Розклад
A = U·Σ·Vᵀ
U — ліві сингулярні вектори (m×m)
Σ — діагональна (m×n), σᵢ ≥ 0
V — праві сингулярні вектори (n×n)
Сингулярні значення
σᵢ = √(λᵢ(AᵀA))
rank(A) = кількість σᵢ > 0
Норма: ||A||₂ = σ_max
Псевдообернена матриця
A⁺ = V·Σ⁺·Uᵀ
Σ⁺: замінити σᵢ ≠ 0 на 1/σᵢ
Мінімальне рішення Ax ≈ b: x = A⁺b
💡 SVD — фундамент у стисненні даних (PCA), рекомендаційних системах та чисельному розв'язку систем рівнянь. Перші k сингулярних значень дають найкращу k-рангову апроксимацію.
Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.
Шпаргалка охоплює: операції з матрицями, правило Крамера, метод Гауса, власні числа та вектори, скалярний і векторний добуток, базиси та лінійну залежність.
Ефективне використання
Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.
Часті запитання (FAQ)
Які ключові формули та правила містить шпаргалка з лінійної алгебри?
Ця шпаргалка з 'лінійної алгебри' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.
Для кого призначена ця шпаргалка з лінійної алгебри?
Шпаргалка з 'лінійної алгебри' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.
Як використовувати шпаргалку з лінійної алгебри при підготовці до іспиту?
Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.
Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з лінійної алгебри?
Шпаргалка з 'лінійної алгебри' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.
Де ще можна попрактикуватися з лінійної алгебри після вивчення шпаргалки?
Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.