Шпаргалка з математичного аналізу: границі, похідні, інтеграли

Q: Які ключові формули та правила містить шпаргалка з матаналізу?

Ця шпаргалка з 'матаналізу' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.

Q: Для кого призначена ця шпаргалка з матаналізу?

Шпаргалка з 'матаналізу' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.

Q: Як використовувати шпаргалку з матаналізу при підготовці до іспиту?

Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.

Q: Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з матаналізу?

Шпаргалка з 'матаналізу' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.

Q: Де ще можна попрактикуватися з матаналізу після вивчення шпаргалки?

Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.

1. Границі та невизначеності

Стандартні границі

lim sin(x)/x (x→0)= 1

lim (1−cos x)/x² (x→0)= 1/2

lim (1+1/n)ⁿ (n→∞)= e

lim (eˣ−1)/x (x→0)= 1

lim ln(1+x)/x (x→0)= 1

lim xⁿ/eˣ (x→∞)= 0

Невизначеності → Правило Лопіталя

0/0 або ∞/∞lim f/g = lim f'/g'

0·∞→ 0/(1/∞)

∞−∞→привести до 0/0

1^∞, 0⁰, ∞⁰→ e^(lim ln f)

2. Таблиця похідних

Базові функції

(C)' = 0

(xⁿ)' = n·x^(n−1)

(eˣ)' = eˣ

(aˣ)' = aˣ·ln(a)

(ln x)' = 1/x

(log_a x)' = 1/(x·ln a)

Тригонометричні

(sin x)' = cos x

(cos x)' = −sin x

(tg x)' = 1/cos²x

(ctg x)' = −1/sin²x

(arcsin x)' = 1/√(1−x²)

(arctan x)' = 1/(1+x²)

Правила диференціювання

(u ± v)' = u' ± v'

(C·u)' = C·u'

(u·v)' = u'v + uv'

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

Складена: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

Обернена: (f⁻¹)' = 1 / f'(f⁻¹(x))

3. Таблиця інтегралів

Функція f(x)	∫ f(x) dx	Умова
xⁿ	x^(n+1)/(n+1) + C	n ≠ −1
1/x	ln\|x\| + C	x ≠ 0
eˣ	eˣ + C	—
aˣ	aˣ/ln(a) + C	a > 0, a ≠ 1
sin x	−cos x + C	—
cos x	sin x + C	—
1/cos²x	tg x + C	—
1/sin²x	−ctg x + C	—
1/√(1−x²)	arcsin x + C	\|x\| < 1
1/(1+x²)	arctan x + C	—
1/(a²+x²)	(1/a)·arctan(x/a) + C	a ≠ 0
√x	(2/3)·x^(3/2) + C	x ≥ 0

💡 Метод підстановки: ∫f(g(x))·g'(x)dx = F(g(x))+C. Метод частин: ∫u dv = uv − ∫v du

4. Ряди Тейлора (Маклорена)

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … (|x|<∞) sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − … (|x|<∞) cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − … (|x|<∞) ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − … (|x|≤1, x≠−1) 1/(1−x) = 1 + x + x² + x³ + … (|x|<1) (1+x)ⁿ = 1 + nx + n(n−1)x²/2! + … (|x|<1)

5. Визначений інтеграл — формула Ньютона–Лейбніца

∫[a;b] f(x) dx = F(b) − F(a), де F'(x) = f(x) Середнє значення: f_avg = (1/(b−a)) · ∫[a;b] f(x) dx Площа між кривими: S = ∫[a;b] |f(x)−g(x)| dx

← Шпаргалка похідні Таблиця похідних ↩ Всі гайди

Як користуватися шпаргалкою

Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.

Шпаргалка з матаналізу охоплює: правила диференціювання (добутку, частки, ланцюгове), таблицю похідних елементарних функцій, методи інтегрування (заміна змінної, частинне інтегрування), правила Лопіталя та ряди Тейлора.

Ефективне використання

Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.

Часті запитання (FAQ)

Які ключові формули та правила містить шпаргалка з матаналізу?