Найкоротший шлях — пряма y = x. Довжина J = √2. Підтверджує теорему: геодезична на площині — пряма.
Задача 2. Застосування тотожності Бельтрамі
Умова: Знайдіть рівняння Е-Л і перший інтеграл для J[y] = ∫₀¹ y√(1+y'²) dx (функціонал мінімальної поверхні обертання).
1
F = y√(1+y'²). Не залежить явно від x → застосовуємо тотожність Бельтрамі: F − y'·∂F/∂y' = C.
2
Обчислюємо: ∂F/∂y' = y·y'/√(1+y'²).
Тотожність Бельтрамі:
y√(1+y'²) − y'·[y·y'/√(1+y'²)] = C
y[(1+y'²) − y'²] / √(1+y'²) = C
y / √(1+y'²) = C
Підстановка: 1+y'² = y²/C² → y' = √(y²−C²)/C = dy/dx
Диференціальне рівняння з розділеними змінними:
C dy/√(y²−C²) = dx
C·arcosh(y/C) = x + D
y = C·cosh((x+D)/C) ← катеноїд!
3
Мінімальна поверхня обертання — катеноїд y = C·cosh(x/C). Це форма мильної плівки між двома кільцями!
Відповідь:
Мінімальна поверхня обертання — катеноїд y = C·cosh((x+D)/C). Перший інтеграл: y/√(1+y'²) = C = const.
Задача 3. Маятник через принцип найменшої дії
Умова: За допомогою принципу Гамільтона виведіть рівняння математичного маятника: маса m, підвіс l, кут θ.
Параметризуємо дугою s: Rθ = f(z)
Функціонал: J = ∫√(R²(dθ/dz)² + 1) dz
F = √(R²θ'² + 1), θ' = dθ/dz
∂F/∂θ = 0 → d/dz(∂F/∂θ') = 0 → ∂F/∂θ' = const
R²θ' / √(R²θ'² + 1) = C
R²θ'² = C²(R²θ'²+1) → θ'²(R²−C²) = C²
θ' = dθ/dz = C/√(R²−C²) = k = const
Отже: θ = kz + θ₀ або Rθ = (Rk)z + const
Розгортаємо циліндр у площину:
x = Rθ ← пряма у розгорнутій площині!
y = z
Пряма у площині → гелікс на циліндрі
3
Геодезична на циліндрі — гелікс Rθ = kz + const (при k=0: горизонтальне коло; при k=∞: вертикальна пряма).
Відповідь:
Геодезичні на циліндрі — гелікси (θ = k·z + const): горизонтальні кола (k=0), вертикальні лінії (k→∞) і нахилені гелікси. Циліндр розгортається у площину → геодезична = пряма.
Задача 5. Ізопериметрична задача: прямокутник максимальної площі
Умова: Серед прямокутників з фіксованим периметром P = 2(a+b) = const знайдіть той, що maximizes площу A = ab. Зведіть до задачі з обмеженням.
1
Маємо: A = ab → max при умові a+b = P/2 = L = const.
2
Метод множника Лагранжа: ∇A = λ∇g, де g(a,b) = a+b−L = 0.
∇A = (b, a), ∇g = (1, 1)
λ-умова: (b, a) = λ(1, 1) → b = λ і a = λ
Отже: a = b ← квадрат!
Максимальна площа: A* = a² = (L/2)² = (P/4)²
A* = P²/16
Нерівність AM-GM: ab ≤ [(a+b)/2]² = (L/2)²
Рівність ⟺ a = b ✓
Варіаційне формулювання (неперервна аналогія):
Серед кривих замкнених довжини L максимальна
замкнена площа A ≤ L²/(4π)
Рівність ⟺ замкнута крива є колом (ізоперим. нер-сть)
3
Квадрат має максимальну площу серед прямокутників з фіксованим периметром. Це дискретна версія ізопериметричної нерівності — коло максимізує площу.
Відповідь:
Оптимальний прямокутник — квадрат a=b=L/2=P/4. Площа A*=P²/16. Аналогія: серед замкнених кривих довжини L, коло максимізує площу: A ≤ L²/(4π).
Задача 6. Теорема Нетер: зв'язок симетрії та збереженої величини
Умова: Дано лагранжіан L = ½m(ẋ²+ẏ²) − V(x²+y²) (частинка у центральному полі). Знайдіть збережену величину, що відповідає симетрії поворотів навколо осі z.
1
Симетрія: поворот на кут ε навколо z: x→x−εy, y→y+εx (у першому порядку по ε).
2
Перевіряємо: x²+y² → (x−εy)²+(y+εx)² = x²+y²+O(ε²) → V не змінюється. ẋ²+ẏ² → аналогічно. → L інваріантний. ✓
3
За теоремою Нетер (генератор δxᵢ = (bₓ,bᵧ) = (−y, x), без зміни часу a=0):
Симетрія повороту навколо z → збережений момент імпульсу Lz = m(xẏ−yẋ) = const. Загально: симетрія → закон збереження (теорема Нетер, 1918).
Методика розв'язання
Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.
Розв'язані задачі з математичного аналізу показують стандартні техніки: диференціювання неявних функцій, обчислення площ та об'ємів тіл обертання, дослідження збіжності рядів.
Як вчитися на прикладах
Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.
Часті запитання (FAQ)
Які методи розв'язання задач з розв'язані задачі демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Розв'язані задачі': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з розв'язані задачі представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з розв'язані задачі найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок розв'язані задачі містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з розв'язані задачі допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Розв'язані задачі' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.