Головна → Математика → Основна теорема аналізу

∫ Основна теорема аналізу

∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)

Формула Ньютона-Лейбніца — найглибший зв'язок математичного аналізу: визначений інтеграл обчислюється через первісну. Диференціювання і інтегрування — обернені операції.

📖 Теорема та її дві частини

Частина 1: Первісна через інтеграл

Якщо f неперервна на [a, b], то функція

G(x) = ∫ₐˣ f(t)dt

є диференційовною, і G'(x) = f(x). Тобто диференціювання «скасовує» інтегрування.

Частина 2: Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо F — первісна f на [a, b], то:

∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x)|ₐᵇ

Позначення F(x)|ₐᵇ означає «підставити b, потім a і відняти».

💡 Ключова ідея

До XVII ст. площі під кривими (інтеграли) і нахили дотичних (похідні) здавалися абсолютно різними завданнями. Ньютон і Лейбніц незалежно відкрили: це обернені операції. Це відкриття перетворило аналіз на потужний інструмент науки і техніки.

Загальний алгоритм обчислення визначеного інтегралу

  1. Знайти первісну F(x) підінтегральної функції f(x): F'(x) = f(x)
  2. Підставити верхню межу: F(b)
  3. Підставити нижню межу: F(a)
  4. Обчислити різницю: F(b) − F(a)

Важливо: константа C при знаходженні первісної скорочується при відніманні F(b) − F(a), тому у визначеному інтегралі її не пишуть.

✏️ Приклади

📌 Приклад 1: Базовий визначений інтеграл

Обчислити ∫₁³ (2x + 1)dx
1. Первісна: F(x) = x² + x
2. F(3) = 9 + 3 = 12
3. F(1) = 1 + 1 = 2
4. ∫₁³ (2x + 1)dx = F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10
∫₁³ (2x + 1)dx = 10

📌 Приклад 2: Площа під параболою

Знайти площу фігури, обмеженої параболою y = x² та прямою y = 4 (між x = −2 і x = 2)
S = ∫₋₂² (4 − x²)dx
Первісна: F(x) = 4x − x³/3
F(2) = 8 − 8/3 = 16/3
F(−2) = −8 + 8/3 = −16/3
S = 16/3 − (−16/3) = 32/3 ≈ 10.67
S = 32/3 ≈ 10.67 кв.од.

📌 Приклад 3: Тригонометричний інтеграл

Обчислити ∫₀^(π/2) sin(x)dx
Первісна: F(x) = −cos(x)
F(π/2) = −cos(π/2) = 0
F(0) = −cos(0) = −1
∫₀^(π/2) sin(x)dx = 0 − (−1) = 1
∫₀^(π/2) sin x dx = 1

🌍 Застосування

📐 Геометрія: площі та об'єми

Площа плоскої фігури між кривими, об'єм тіла обертання, довжина дуги — всі ці задачі зводяться до обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца.

🔭 Фізика

Шлях = ∫v dt, робота = ∫F dx, заряд = ∫I dt, імпульс = ∫F dt. Інтегрування — мова фізики для зв'язку миттєвих і сумарних величин.

📈 Економіка

Сумарний прибуток = ∫(граничний прибуток)dp, споживчий надлишок — інтеграл від функції попиту. Теорема є основою граничного аналізу.

🔬 Ймовірність

Ймовірність P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx для неперервного розподілу. Нормальний, експоненціальний, γ-розподіл — всі через формулу Ньютона-Лейбніца.

🧮 Калькулятор інтегралів → 🎯 Тренажер: інтеграли → 📄 Визначений інтеграл →

Про ці формули

Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.

Ключові формули математичного аналізу: похідні, інтеграли, ряди, граничні переходи та теореми про середнє значення — фундамент кількісного опису природи.

Як застосовувати формули

Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.

Часті запитання (FAQ)

Які основні формули охоплює цей розділ з 🔬 наукові калькулятори?
Розділ '🔬 Наукові калькулятори' містить: похідна (f'(x)), інтеграл (∫f(x)dx), формула Ньютона-Лейбніца, ряди Тейлора та Маклорена, правило Лопіталя. Кожна формула подана у загальному вигляді з поясненням позначень та умовами застосування.
Як правильно застосовувати формули з 🔬 наукові калькулятори?
Перед підстановкою чисел у формулу переконайтесь: (1) всі величини в одних одиницях, (2) ви зрозуміли фізичний або математичний сенс кожного символу, (3) результат має правильну розмірність. Це три кроки, що запобігають 90% помилок.
Де в реальному житті використовуються формули 🔬 наукові калькулятори?
Формули 🔬 наукові калькулятори застосовуються в: фізиці (рух, хвилі), інженерії (оптимізація, моделювання), економіці (граничні витрати), медицині (фармакокінетика) та ComputerScience (градієнтний спуск у ML). Знання цих співвідношень є обов'язковим для інженерів, науковців та студентів відповідних спеціальностей.
Які типові помилки роблять при роботі з формулами 🔬 наукові калькулятори?
Найчастіші помилки: плутанина з одиницями вимірювання, неправильне трактування умов застосування формули, арифметичні прорахунки при підстановці. Завжди перевіряйте розмірність результату та порівнюйте з очікуваним порядком величини.
Як перевірити правильність формули 🔬 наукові калькулятори?
Для перевірки: (1) перевірте розмірність (всі доданки мають однакову розмірність), (2) підставте граничні випадки (нулі, нескінченність), (3) звіртеся з результатом онлайн-калькулятора на calculator.party.

🔗 Також за темою

🧮 Варіаційне числення 💪 Основні поняття математичного аналізу 💪 Тензорне числення — тренажер 📖 Варіаційне числення: рівняння Ейлера-Лагранжа, брахістохрона, принцип Гамільтона, теорема Нетер 📋 Розширена шпаргалка з вищої математики — ряди, багатовимірний аналіз