Ряди, багатовимірне числення, векторний аналіз, теореми Стокса та Гауса-Остроградського
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = Σ (-1)ⁿ x^(2n+1)/(2n+1)!
cos x = Σ (-1)ⁿ x^(2n)/(2n)!
ln(1+x) = Σ (-1)^(n-1) xⁿ/n
1/(1−x) = 1 + x + x² + x³ + …
(1+x)ᵅ = Σ C(α,n) xⁿ
arctan x = x − x³/3 + x⁵/5 − …
sinh x = x + x³/3! + x⁵/5! + …
L = lim |a_{n+1} / a_n|
L = lim ⁿ√|aₙ|
Σaₙ та ∫f(x)dx збігаються або обидва розбігаються
Σ(-1)ⁿ aₙ — якщо aₙ→0 і aₙ↘ zbig.
0 ≤ aₙ ≤ bₙ: якщо Σbₙ збіг → Σaₙ збіг
Ряд Σaₙxⁿ збіг. при |x| < R
∂f/∂x = lim[Δx→0] [f(x+Δx,y) − f(x,y)] / Δx
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
D_û f = ∇f · û = |∇f| cos θ
H = det[∂²f/∂xᵢ∂xⱼ]
∇f = λ∇g при умові g(x,y,z) = 0
∬_D f(x,y) dA = ∫_a^b [∫_{g₁(x)}^{g₂(x)} f(x,y) dy] dx
∬f dA = ∬f(r,θ) r dr dθ
∭_V f dV = ∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz
dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ
dV = r dr dθ dz
∬f dA = ∬f(g,h)|J| du dv
| Оператор | Формула | Застосування |
|---|---|---|
| Дивергенція | div F = ∂Fₓ/∂x + ∂F_y/∂y + ∂F_z/∂z | Потік поля з точки; div F = 0 → соленоїдальне поле |
| Ротор (curl) | curl F = ∇ × F = (∂Fz/∂y − ∂Fy/∂z, …) | Обертання поля; curl F = 0 → потенціальне поле |
| Лапласіан | Δf = ∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z² | Рівняння Лапласа, Пуасона; тепло, гравітація |
| Криволін. інтеграл 1-го роду | ∫_L f ds = ∫_a^b f(r(t))|r'(t)| dt | Довжина кривої, маса нитки |
| Криволін. інтеграл 2-го роду | ∫_L F·dr = ∫_a^b F(r(t))·r'(t) dt | Робота поля вздовж кривої |
| Поверхневий інтеграл | ∬_S F·dS = ∬_D F·(r_u × r_v) du dv | Потік векторного поля через поверхню |
∫_a^b F'(x)dx = F(b) − F(a)
∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA
∮_C F·dr = ∬_S (curl F)·dS
∯_S F·dS = ∭_V (div F) dV
∯_S E·dS = Q_enc / ε₀
F = ∇φ ↔ ∮F·dr = 0 ↔ curl F = 0
| Тип | Метод | Характеристика |
|---|---|---|
| Лінійне ДР 1-го порядку | y' + p(x)y = q(x) | Метод варіації сталої або μ(x) = e^∫p dx |
| Лінійне ДР 2-го порядку (homog.) | y'' + py' + qy = 0 | Характ. рівняння k² + pk + q = 0; 3 випадки коренів |
| Рівняння Ейлера | x²y'' + axy' + by = 0 | Заміна x = eᵗ → конст. коефіц. |
| Рівняння Бернуллі | y' + p(x)y = q(x)yⁿ | Заміна z = y^(1-n) |
| Лапласівська задача | ∇²u = 0 | Метод Фур'є, функції Гріна |
| Хвильове рівняння | u_{tt} = c²∇²u | Метод розділення змінних |
| Формула | Результат |
|---|---|
| Довжина кривої y=f(x) від a до b | L = ∫_a^b √(1 + (f')²) dx |
| Площа поверхні обертання | S = 2π∫_a^b f(x)√(1+(f')²) dx |
| Об'єм тіла обертання (ось Ox) | V = π∫_a^b f²(x) dx |
| Центр маси плоскої фігури | x̄ = (1/A)∬x dA, ȳ = (1/A)∬y dA |
| Момент інерції відносно осі | I = ∬ρ(x,y) r² dA |
| Формула Стірлінга для n! | n! ≈ √(2πn) (n/e)ⁿ |
| Формула Уоліса | π/2 = (2·2·4·4·6·6⋯)/(1·3·3·5·5·7⋯) |
| Гаусів інтеграл | ∫_{-∞}^{∞} e^(-x²) dx = √π |
Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.
Шпаргалка з матаналізу охоплює: правила диференціювання (добутку, частки, ланцюгове), таблицю похідних елементарних функцій, методи інтегрування (заміна змінної, частинне інтегрування), правила Лопіталя та ряди Тейлора.
Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.