📋 Шпаргалка · Математичний аналіз

Похідні: повна шпаргалка

Всі правила та формули на одній сторінці — зручно для навчання й іспитів

Визначення та позначення

Похідна як границя
f′(x)= lim[h→0] (f(x+h)−f(x))/h
dy/dx или Dfальтернативні позначення Лейбніца та Дірака
f″(x), f‴(x)друга і третя похідні (ітеровані)

Таблиця похідних

ФункціяПохіднаУмова/Примітка
C0C — константа
x1
xⁿn·xⁿ⁻¹n — будь-яке дійсне
√x = x^(1/2)1/(2√x)x > 0
1/x = x⁻¹−1/x²x ≠ 0
eˣeˣЄдина «самовідтворювальна» функція
aˣaˣ·ln aa > 0, a ≠ 1
ln x1/xx > 0
log_a x1/(x·ln a)x > 0
sin xcos x
cos x−sin xЗнак мінус!
tg x1/cos²x = sec²xx ≠ π/2+πn
ctg x−1/sin²x = −csc²xx ≠ πn
arcsin x1/√(1−x²)|x| < 1
arccos x−1/√(1−x²)|x| < 1
arctg x1/(1+x²)∀x
arcctg x−1/(1+x²)∀x
sh x (sinh)ch x (cosh)Гіперболічний синус
ch x (cosh)sh x (sinh)Без мінуса! (на відміну від cos)

Правила диференціювання

Лінійність
(af + bg)′ = af′ + bg′
Константи виносяться, сума розбивається
(3sin x − 2x²)′ = 3cos x − 4x
Правило добутку
(f·g)′ = f′g + fg′
«Перша похідна·другу + перша·похідну другої»
(x·sin x)′ = sin x + x·cos x
Правило частки
(f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
Знаменник у квадраті. g ≠ 0
(sin x/x)′ = (x·cos x − sin x)/x²
Ланцюгове правило
[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)
«Зовнішня похідна по внутрішньому × похідна внутрішньої»
(sin(3x))′ = cos(3x)·3 = 3cos(3x)

Логарифмічне диференціювання

Для функцій вигляду [u(x)]^v(x) або складних добутків беремо ln від обох сторін:

Для y = u(x)^v(x)
ln y = v·ln u → y′/y = v′ln u + v·u′/u → y′ = y·(v′ln u + vu′/u)
(x^x)′ = x^x · (ln x + 1)

Похідні вищих порядків

Формула Лейбніца для n-ї похідної добутку
(fg)^(n)= Σ C(n,k) · f^(k) · g^(n-k)
(sin x)^(n)= sin(x + nπ/2)
(cos x)^(n)= cos(x + nπ/2)
(eˣ)^(n)= eˣ
(xⁿ)^(n)= n!

Корисні прийоми

💡 Перевірка: Якщо знайшли f′(x), переконайтесь, що розмірність/порядок зменшився (xⁿ → xⁿ⁻¹)
📌 Знак мінус у cos: (sin x)′ = cos x, але (cos x)′ = −sin x. Найчастіша помилка!
💡 Ланцюгове в ланцюговому: (sin(e^(x²)))′ = cos(e^(x²))·e^(x²)·2x — множимо всі «шари»
✍️ Покрокові приклади ← Алгебра Геометрія → ↩ Усі довідники

Як користуватися шпаргалкою

Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.

Шпаргалка з матаналізу охоплює: правила диференціювання (добутку, частки, ланцюгове), таблицю похідних елементарних функцій, методи інтегрування (заміна змінної, частинне інтегрування), правила Лопіталя та ряди Тейлора.

Ефективне використання

Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.

Часті запитання (FAQ)

Які ключові формули та правила містить шпаргалка з похідні?
Ця шпаргалка з 'Похідні' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.
Для кого призначена ця шпаргалка з похідні?
Шпаргалка з 'Похідні' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.
Як використовувати шпаргалку з похідні при підготовці до іспиту?
Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.
Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з похідні?
Шпаргалка з 'Похідні' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.
Де ще можна попрактикуватися з похідні після вивчення шпаргалки?
Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор похідних 🧮 Калькулятор похідних онлайн 💪 Тренування похідних за таблицею 💪 Тренажер: Похідні ✏️ Похідні функцій: правила та покрокові приклади