π
Число Пі (Pi)
3.14159 26535 89793
Відношення довжини кола до діаметра: π = C/d. Ірраціональне і трансцендентне число.
Де виникає: площа кола (πr²), обсяг кулі (4/3πr³), ряд Баузе π²/6=Σ1/n², нормальний розподіл e^(−x²/2)/√(2π), формула Ейлера e^(iπ)+1=0
e
Число Ейлера (основа натурального логарифму)
2.71828 18284 59045
Єдине число, де похідна eˣ дорівнює самому eˣ. e = lim(1+1/n)ⁿ (n→∞) = Σn=0..∞ 1/n!
Де виникає: зростання/затухання (e^(λt)), складні відсотки, нормальний розподіл, ентропія, тригонометрія (e^(ix)=cos x+i sin x)
φ
Золотий перетин (Phi)
1.61803 39887 49894
φ = (1+√5)/2. Розв'язок рівняння x²=x+1. Відношення: φ = F(n+1)/F(n) (послідовність Фібоначчі).
Де виникає: золоте прямокутники, Фібоначчі, спіралі в природі (соняшник, равлик), Парфенон, пентаграма cos 36°=φ/2
γ
Константа Ейлера–Маскероні
0.57721 56649 01532
γ = lim(n→∞)[Σk=1..n (1/k) − ln n]. Зв'язок між рядом гармоніки та натуральним логарифмом.
Де виникає: теорія чисел, гамма-функція Γ, інтеграл −∫₀^∞ e^(−t)ln t dt = γ, ймовірність (розподіл Гумбеля)
√2
Квадратний корінь з 2
1.41421 35623 73095
Перше доведено ірраціональне число (піфагорійці). √2 = довжина діагоналі одиничного квадрата.
Де виникає: теорема Піфагора (c=√(a²+b²)), форматні стандарти (A4 = 297/210 = √2), ймовірність (σ√2 в нормальному розподілі)
i
Уявна одиниця
i = √(−1)
i² = −1. Фундамент комплексних чисел ℂ = {a+bi}. Пов'язана з e: e^(iπ) = −1 (тотожність Ейлера).
Де виникає: квантова механіка ψ(x,t), сигнали (перетворення Фур'є), електротехніка (реактивний опір X=iωL), корені полінома
ln2
Натуральний логарифм 2
0.69314 71805 59945
ln 2 = ∫₁² 1/t dt = Σk=1..∞ (−1)^(k+1)/k (ряд Лейбніца). Пов'язаний з T½: λ·T½ = ln 2.
Де виникає: час подвоєння/напіврозпаду T½ = ln2/λ, правило 72 (фінанси: % років = 72/r), log₂ в інформатиці
0!
0 факторіал = 1
0! = 1 (за означенням)
Гамма-функція: Γ(n+1)=n!, Γ(1)=1=0!. Комбінаторна формула C(n,0)=1: є рівно 1 спосіб обрати 0 елементів з n.
Де виникає: комбінаторика C(n,k)=n!/(k!(n−k)!), ряд Тейлора e^x=Σxⁿ/n! (при n=0: x⁰/0!=1), порожній добуток
π: рекорд обчислень
2024 рік: 202 трильйони знаків після коми. Перші 39 знаків достатні для розрахунку кола Всесвіту з точністю до атома.
e ≈ Σ 1/n!
Найшвидший ряд для e: 1+1+1/2+1/6+1/24+... 20 членів дають 15 вірних знаків. Метод Ейлера 1748.
π та e: незалежні?
Невідомо, чи є π+e або πe ірраціональними — це відкрита математична проблема (2024).
Формула Ейлера
e^(iπ)+1=0 — «найкрасивіша формула математики» (Хардi). Об'єднує e, i, π, 1, 0 в одній тотожності.
φ у природі
Соняшниковий диск має 34 і 55 спіралей — два сусідніх числа Фібоначчі, відношення = φ. Мушля Nautilus: логарифмічна спіраль e^(θ/φ).
√2 і «стандарт A»
Формат A4: 297×210 мм → 297/210 = 1.4142... = √2. Якщо скласти A4 навпіл — отримаємо A5 з тим самим співвідношенням.