Аксіоматика теорії ймовірностей (1933)
У книзі «Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung» (1933) Колмогоров вперше дав строгу математичну основу теорії ймовірностей через теорію міри.
Аксіоми Колмогорова:
Нехай (Ω, ℱ, P) — ймовірнісний простір, де:
Ω — простір елементарних подій
ℱ — σ-алгебра підмножин Ω
P: ℱ → [0,1] — ймовірнісна міра
A1: P(A) ≥ 0 для будь-якої A ∈ ℱ
A2: P(Ω) = 1 (нормування)
A3: P(∪ Aᵢ) = ΣP(Aᵢ) для попарно несумісних Aᵢ
(σ-адитивність)
Наслідки:
P(∅) = 0, P(Aᶜ) = 1−P(A), P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) (умовна ймовірність)
До Колмогорова єдиного фундаменту не існувало — ймовірність 50 років залишалась «інтуїтивною» наукою. Аксіоматика зв'язала її з теорією міри Лебега.
Складність Колмогорова (алгоритмічна інформаційна теорія)
У 1960-х Колмогоров незалежно від Соловея і Чейтіна ввів поняття алгоритмічної складності рядка — мінімальна довжина програми, що генерує цей рядок.
Складність Колмогорова:
K(x) = min{ |p| : U(p) = x }
де U — універсальна машина Тюрінга,
p — програма, |p| — її довжина
Приклади:
K("00000000…0" × 10⁶) ≈ логарифмічно мала
(мільйон нулів = коротка програма)
K(pi = 3,14159265…) ≈ мала
(pi має коротку формулу)
K(випадковий рядок довжини n) ≈ n
(немає коротшого опису)
Теорема: K(x) ≤ |x| + C (не більше самого рядка)
Колмогоровська випадковість:
x — «випадковий», якщо K(x) ≥ |x| − c
(не можна стиснути!)
Теорема KAM: стійкість планетарних орбіт
Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера (1954–1963) відповідає на питання Пуанкаре: чи стійка Сонячна система? Відповідь: більшість орбіт стійкі при малих збуреннях.
Проблема: чи стійка система N тіл (планет)?
Гамільтоніан: H = H₀(I) + εH₁(I,θ,t)
(невозмущена + мале збурення ε)
KAM-теорема:
Якщо H₀ задовольняє умову невиродженості:
det(∂²H₀/∂Iᵢ∂Iⱼ) ≠ 0
та частоти ω задовольняють діофантову умову:
|k·ω| ≥ γ/|k|ᵛ для всіх k∈ℤⁿ\{0}
то при |ε| < ε₀ більшість торів виживають!
(хаос є, але лише на «малій» множині початкових умов)
Висновок: Сонячна система стійка "майже скрізь".