Число e і безперервне нарахування відсотків
Досліджуючи задачу про нарахування складних відсотків, Якоб Бернуллі (1683) вивів, що при безперервному нарахуванні послідовність (1 + 1/n)ⁿ прямує до певної константи. Це і є число e — основа натуральних логарифмів.
Задача про відсотки:
100 грн · (1 + r/n)ⁿ → 100·eʳ при n→∞
Визначення числа e:
e = lim_{n→∞} (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828182845...
Рядове представлення:
e = Σ_{n=0}^∞ 1/n! = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ...
e — ірраціональне і трансцендентне число
(доведено Ерміт 1873)
Бернуллі не дав точного значення e — він лише помітив, що межа існує. Сам символ «e» ввів Ейлер у 1731 р. на честь слова «exponential».
Закон великих чисел (1713)
Головна праця Бернуллі — «Ars Conjectandi» («Мистецтво припущень»), опублікована посмертно в 1713 р. У ній він довів перший закон великих чисел — фундамент статистики та теорії ймовірностей.
Теорема Бернуллі (слабкий ЗВЧ):
Нехай X₁, X₂, … — н.р. випробування Бернуллі з P(Xᵢ=1)=p.
X̄ₙ = (X₁+…+Xₙ)/n
∀ε>0: lim_{n→∞} P(|X̄ₙ − p| > ε) = 0
Тобто: відносна частота події збігається
за ймовірністю до теоретичної ймовірності p.
Оцінка точності (нерівність Бернуллі-Чебишова):
P(|X̄ₙ − p| > ε) ≤ p(1−p)/(nε²) ≤ 1/(4nε²)
Бернуллі довів цей результат за допомогою комбінаторних методів, а не через теорію міри. Строге доведення з'явилось лише у XX ст. завдяки Колмогорову.
Розподіл Бернуллі і числа Бернуллі
Розподіл Бернуллі(p):
P(X=1) = p, P(X=0) = 1−p
E[X] = p, Var(X) = p(1−p)
Числа Бернуллі Bₙ (з твірної функції):
t/(eᵗ−1) = Σ_{n=0}^∞ Bₙ tⁿ/n!
B₀=1, B₁=−1/2, B₂=1/6, B₄=−1/30, B₆=1/42…
(всі непарні Bₙ=0 при n≥3)
Застосування:
Σ_{k=1}^n kᵐ = (1/(m+1)) Σ_{j=0}^m C(m+1,j)Bⱼ nᵐ⁺¹⁻ʲ
Формула суми квадратів:
Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 [через B₂=1/6]
Рівняння Бернуллі і лемніската
Рівняння Бернуллі — важливий тип нелінійного ОДР, який зводиться до лінійного заміною змінної. Лемніската Бернуллі — алгебрична крива, що нагадує вісімку.
Рівняння Бернуллі:
dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ (n≠0,1)
Розв'язання: заміна v = y^(1−n):
dv/dx + (1−n)P(x)v = (1−n)Q(x) — лінійне ОДР!
Лемніската Бернуллі:
(x²+y²)² = a²(x²−y²)
або у полярних: r² = a²cos(2φ)
Довжина: L = 4a·∫₀^(π/4) dφ/√cos(2φ)
(перший еліптичний інтеграл!)
Досліджуючи довжину лемніскати, Бернуллі натрапив на еліптичні інтеграли — об'єкти, які стали центральними в математиці XIX ст. (Гаусс, Абель, Якобі).
Задача Базеля
Якоб Бернуллі поставив задачу обчислити суму Σ 1/n², але не зміг розв'язати її. Відповідь знайшов Ейлер у 1734 р.:
Задача Базеля (поставив Бернуллі, 1689):
Σ_{n=1}^∞ 1/n² = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …
Розв'язок Ейлера (1734):
Σ_{n=1}^∞ 1/n² = π²/6 ≈ 1.6449…
Загальна формула (ζ-функція Рімана):
ζ(2k) = Σ 1/n^(2k) = (−1)^(k+1)(2π)^(2k)B₂ₖ/(2(2k)!)
ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945…
Хронологія
- 1655Народився в Базелі; батьки хотіли, щоб він став теологом
- 1676Самостійно вивчив математику — Декарта, Лейбніца
- 1683Відкрив, що lim(1+1/n)ⁿ існує (майбутнє число e)
- 1689Поставив «задачу Базеля» — Σ1/n²=?
- 1690«Рівняння Бернуллі»; вивчення ланцюгової лінії (catenary)
- 1695Відкрив лемніскату; дослідив еліптичні інтеграли
- 1705Помер у Базелі; на надгробку — спіраль з написом «Eadem mutata resurgo»
- 1713«Ars Conjectandi» опублікована посмертно братом