ε-δ строгість: революція в аналізі
До Коші поняття «границя», «неперервність» і «похідна» були інтуїтивними. У «Курсі аналізу» (1821) Коші дав перші строгі означення через ε і δ, заклавши фундамент сучасного математичного аналізу.
Означення Коші (неперервність):
f неперервна у x₀ ⟺
∀ε>0 ∃δ>0: |x−x₀|<δ ⟹ |f(x)−f(x₀)|<ε
Означення границі (сучасна форма на основі Коші):
lim_{x→a} f(x) = L ⟺
∀ε>0 ∃δ>0: 0<|x−a|<δ ⟹ |f(x)−L|<ε
Послідовність Коші (фундаментальна):
{aₙ} — послідовність Коші ⟺
∀ε>0 ∃N: ∀m,n>N |aₙ−aₘ|<ε
Повнота: кожна послідовність Коші в ℝ збіжна
Завдяки Коші доведення перестали посилатися на «нескінченно малі» (infinitesimals) — туманне поняття від Лейбніца і Ньютона. Математика стала строгою.
Комплексний аналіз: теорема і формула
Коші заснував теорію аналітичних функцій комплексного змінного. Його інтегральна теорема і формула — центральні результати комплексного аналізу.
Рівняння Коші–Рімана (аналітичність):
∂u/∂x = ∂v/∂y та ∂u/∂y = −∂v/∂x
де f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
Інтегральна теорема Коші:
Якщо f аналітична у D, а C ⊂ D — замкнений контур:
∮_C f(z) dz = 0
Інтегральна формула Коші:
f(z₀) = (1/2πi) ∮_C f(z)/(z−z₀) dz
Формула для похідних:
f^(n)(z₀) = (n!/2πi) ∮_C f(z)/(z−z₀)^(n+1) dz
Формула Коші означає: значення аналітичної функції у будь-якій точці повністю визначається її значеннями на будь-якому контурі навколо цієї точки.
Теорема про лишки і застосування
Теорема про лишки Коші перетворила обчислення складних інтегралів на алгебраїчну задачу знаходження лишків (residues) у полюсах.
Теорема про лишки:
∮_C f(z) dz = 2πi · Σ_{k} Res(f, zₖ)
де zₖ — полюси f всередині C,
Res(f, z₀) = lim_{z→z₀} (z−z₀)·f(z) — для простого полюса
Застосування:
∫_{−∞}^{+∞} 1/(x²+1) dx = π
(вираховуємо через лишок у z=i)
Теорема Коші∮_C f dz = 0 (аналітична f)
Формула Кошіf(z₀) = 1/(2πi)∮f/(z−z₀)
Послідовність КошіКритерій повноти
Нерівність Коші–Буняківс.|⟨u,v⟩|² ≤ ‖u‖²‖v‖²
Рівняння Коші–Рімана∂u/∂x=∂v/∂y, ∂u/∂y=−∂v/∂x
Теорема про лишки∮=2πi·ΣRes
Диференціальні рівняння та теорема існування
Коші довів фундаментальну теорему про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для ОДР.
Задача Коші для ОДР:
dy/dx = f(x, y), y(x₀) = y₀
Теорема Піно–Коші (існування):
Якщо f неперервна в околі (x₀, y₀), то розв'язок існує.
Теорема Коші–Ліпшиця (існування і єдиність):
Якщо f задовольняє умову Ліпшиця у y:
|f(x,y₁)−f(x,y₂)| ≤ L|y₁−y₂|
то розв'язок єдиний.
Хронологія
- 1789Народився в Парижі (рік Великої Французької революції)
- 1805Вступив до Школи мостів і доріг; Лагранж і Лаплас помітили його здібності
- 1814Мемуар про визначені інтеграли — перша формулювання теорії аналітичних функцій
- 1821«Cours d'Analyse» — ε-δ означення, фундамент строгого аналізу
- 1823«Résumé des leçons» — строге означення інтеграла Рімана (до Рімана!)
- 1825Інтегральна теорема Коші для аналітичних функцій
- 1829Нерівність Коші–Буняківського–Шварця (первісна форма)
- 1857Помер у Со поблизу Парижа; написав 789 робіт — 2-й за кількістю після Ейлера