Формула Стірлінга · Числа Стірлінга · Гамма-функція
1692
Рік народження
n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ
Формула Стірлінга
1730
Рік «Methodus Differentialis»
FRS
Член Королівського товариства
📐 Формула Стірлінга: точне наближення факторіала
Формула Стірлінга дає надзвичайно точне наближення для факторіала великих чисел — і є однією з найвизначніших асимптотичних формул математики:
Формула Стірлінга:
n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ
У логарифмічній формі:
ln(n!) ≈ n·ln(n) − n + ½·ln(2πn)
Повна асимптотика (ряд Стірлінга):
n! = √(2πn)·(n/e)ⁿ·exp(1/(12n) − 1/(360n³) + ...)
Відносна похибка наближення:
|n! − √(2πn)(n/e)ⁿ| / n! ≈ 1/(12n) → 0 при n→∞
Приклади:
10! = 3628800
Стірл.: √(20π)·(10/e)¹⁰ ≈ 3598696 (похибка ~0.83%)
з 1/12n: ≈ 3628810 (похибка ~0.003%)
100! ≈ 9.333 × 10¹⁵⁷ (формула дає 7 вірних цифр)
Коефіцієнт √(2π) ≈ 2.5066 — відкрив Стірлінг (самостійно,
хоча Де Муавр зазначав ту саму константу одночасно).
Формула Стірлінга критично важлива у статистиці (теорема Стірлінга-Де Муавра-Лапласа: Bin→N), теорії інформації (ентропія перестановок) і комбінаториці.
🔢 Числа Стірлінга першого та другого роду
Стірлінг ввів два типи комбінаторних чисел, що пов'язують степені і факторіальні степені:
Числа Стірлінга ДРУГОГО роду S(n,k) або {n choose k}_S:
Кількість способів розбити {1,...,n} на k непорожніх підмножин
Рекурентність: S(n,k) = k·S(n−1,k) + S(n−1,k−1)
S(n,1) = 1, S(n,n) = 1
S(4,2) = 7 (7 способів розбити 4 елементи на 2 групи)
Зв'язок зі степенями:
xⁿ = Σₖ S(n,k) · x(x−1)(x−2)···(x−k+1) ← низхідний факт. степінь
x⁴ = x(x−1)(x−2)(x−3) + 6x(x−1)(x−2) + 7x(x−1) + x
Числа Стірлінга ПЕРШОГО роду s(n,k) або [n choose k]_S:
Кількість перестановок {1,...,n} з рівно k циклами
Рекурентність: s(n,k) = s(n−1,k−1) − (n−1)·s(n−1,k)
Зв'язок зі степенями:
x(x−1)···(x−n+1) = Σₖ s(n,k) xᵏ ← підвищуючий факт. степінь
n\k
1
2
3
4
1
1
–
–
–
2
1
1
–
–
3
1
3
1
–
4
1
7
6
1
Числа Стірлінга другого роду S(n,k). Рядки: n від 1 до 4.
Γ Гамма-функція та розширення факторіала
Гамма-функція Ейлера узагальнює факторіал на нецілі і від'ємні числа. Стірлінг незалежно вивчав зв'язок між факторіалами та неперервними функціями:
Гамма-функція (Ейлер, 1729):
Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z−1) e^(−t) dt (Re z > 0)
Основна властивість: Γ(z+1) = z·Γ(z)
Для цілих n: Γ(n+1) = n! (наприклад, Γ(5) = 24 = 4!)
Формула Стірлінга для гамма-функції:
Γ(z) ≈ √(2π/z) · (z/e)^z при |z| → ∞
Спеціальні значення:
Γ(1/2) = √π ← Стірлінг знав цей факт
Γ(1) = 1 = 0!
Γ(3/2) = ½√π
Γ(n+1/2) = (2n)!√π / (4ⁿ n!)
Продовження: Формула відображення Ейлера:
Γ(z)·Γ(1−z) = π / sin(πz)
→ Γ(1/2)² = π/sin(π/2) = π → Γ(1/2)=√π ✓
Формула Стірлінга для Γ(z) є ключовою у статистиці (апроксимація бета-функції), теорії чисел (аналітичне продовження ζ(s)), та фізиці (ансамблі Больцмана: S=k ln W, ln N! апроксимується через формулу Стірлінга).
📊 «Methodus Differentialis» та сумаційні формули
Головна праця Стірлінга (1730) містила також методи з різницевих числень і наближеного обчислення сум:
Формула Стірлінга-Маклорена (сума Ейлера-Маклорена):
Σₖ₌₁ⁿ f(k) ≈ ∫₁ⁿ f(x)dx + [f(1)+f(n)]/2 + Σⱼ B₂ⱼ/(2j)! [f^(2j-1)(n)−f^(2j-1)(1)]
де Bⱼ — числа Бернуллі: B₀=1, B₂=1/6, B₄=−1/30, ...
Застосування до ln(n!):
Σₖ₌₁ⁿ ln k ≈ ∫₁ⁿ ln x dx + ½ln n + (1/12n) − ...
= n·ln(n) − n + 1 + ½ln n + 1/(12n) − ...
= n·ln(n) − n + ½ln(2πn) + 1/(12n) + ...
→ n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ·e^(1/12n) ✓
Формула також застосована Стірлінгом для обчислення:
Σ (1/n²) → π²/6 (числово перевірена до 1730 р.)
π/4 ≈ 1 − 1/3 + 1/5 − ... (ряд Лейбніца, він обчислив 20 цифр)
📅 Хронологія
1692Народився в Ґарден, Шотландія
1710Навчання у Баліол-коледжі (Оксфорд)
1715Листування з Ньютоном; публікація «Lineae Tertii Ordinis Newtonianae»
1717Падуя — вивчає математику; знайомство з Ніколасом Бернуллі
1726Повернення до Лондона; викладач математики
1730«Methodus Differentialis» — головна праця з різницевого числення та сумаційних формул. Формула Стірлінга як результат
1735Обраний членом Королівського товариства (FRS)
1735Листування з Де Муавром — обоє відкрили √(2π) незалежно
1740Стірлінг відходить від математики, стає управителем вугільних копалень у Шотландії
1770Помер в Единбурзі у віці 77 років
Внесок у науку
Цей вчений залишив глибокий слід у розвитку науки та технологій. На цій сторінці зібрані ключові відкриття, цитати та концепції, пов'язані з його науковою спадщиною.
Загальний внесок вченого у математичний аналіз мав революційний вплив на розвиток точних наук, відкрив нові методи дослідження неперервних змін та оптимізаційних задач.
Чому важливо знати цього вченого
Розуміння внеску видатних вчених допомагає зрозуміти логіку розвитку науки. Їхні методи мислення, підходи до проблем і наукова стійкість — безцінний приклад для кожного дослідника і студента.
Ключові відкриття та внески вченого в науку детально описані на цій сторінці. Там ви знайдете опис основних теорій, рівнянь та концепцій, названих на честь цього науковця, а також їх вплив на розвиток науки загалом.
Де вивчав та де працював вчений?
Освіта та наукова кар'єра вченого описані в розділі «Біографія». Більшість видатних науковців здобули освіту у провідних університетах Європи та світу і зробили свої відкриття під час роботи в університетах або наукових інституціях.
Які закони, формули або теореми носять ім'я цього вченого?
На сторінці перелічені основні наукові результати, названі на честь вченого: закони, теореми, рівняння, методи та ефекти. Кожен із них пов'язаний з відповідними матеріалами та калькуляторами на нашому сайті.
Яке значення має спадщина цього вченого для сучасної науки?
Праці видатних вчених, представлених на сайті, заклали фундамент сучасної математики, фізики, хімії та інформатики. Їхні відкриття досі використовуються в науці, інженерії, медицині та технологіях. Сторінка показує, як давні теорії знаходять нові застосування у XXI столітті.
Де знайти задачі та приклади, пов'язані з роботами цього вченого?
На сайті calculator.party є тренажери, розв'язані задачі та калькулятори, що базуються на теоріях і формулах цього вченого. Відповідні посилання наведено в кінці сторінки біографії. Також скористайтеся пошуком по сайту для знаходження матеріалів за ім'ям вченого.