Велика теорема Ферма
Ферма у 1637 р. записав на полях «Арифметики» Діофанта: «Я відкрив справді дивовижне доведення цього, але поля занадто вузькі, щоб його помістити.» Твердження чекало доведення 358 років.
Велика теорема Ферма (ВТФ):
Для цілих n > 2 рівняння
xⁿ + yⁿ = zⁿ
не має натуральних розв'язків x, y, z.
n=2: x²+y²=z² → піфагорові трійки існують!
(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), …
n=3: x³+y³=z³ — немає рішень (Ейлер, 1770)
n=4: x⁴+y⁴=z⁴ — немає рішень (сам Ферма)
n≥3 (загально) — немає рішень
Доведення: Ендрю Вайлс (1995, 129 сторінок!)
Ключова ідея: рівняння Ферма → еліптична крива
→ зв'язок з gмодулярними формами (гіпотеза Таніями-Шімури)
Вайлс витратив 7 років у таємниці, щоб довести ВТФ. У 1993 р. він оголосив доведення, але знайшли прогалину. Через рік він виправив її разом із Ричардом Тейлором. Нобелівської немає в математиці, але Вайлс отримав спеціальну Срібну Медаль Філдса (1998).
Мала теорема Ферма
Фундаментальний результат теорії чисел, що лежить в основі сучасної криптографії RSA.
Мала теорема Ферма:
Якщо p — просте число і gcd(a,p)=1, тo:
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
Або: aᵖ ≡ a (mod p) — для будь-якого цілого a
Приклади:
2⁶ = 64 ≡ 1 (mod 7) (p=7, a=2)
3⁴ = 81 ≡ 1 (mod 5) (p=5, a=3)
Тест Ферма на простоту:
якщо aⁿ⁻¹ ≢ 1 (mod n) для якогось a → n складене
(але числа Кармайкла проходять тест хибно!)
RSA-шифрування ґрунтується на:
φ(n)=(p-1)(q-1), шифрування: c=mᵉ mod n
розшифрування: m=cᵈ mod n, де e·d≡1(mod φ(n))
Числа Ферма
Числа Ферма: Fₙ = 2^(2ⁿ) + 1
F₀ = 3 (просте)
F₁ = 5 (просте)
F₂ = 17 (просте)
F₃ = 257 (просте)
F₄ = 65 537 (просте)
F₅ = 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417 — СКЛАДЕНЕ!
Ферма думав, що всі Fₙ прості.
Ейлер (1732) спростив: F₅ не просте.
Гаус: правильний n-кутник можна побудувати
циркулем і лінійкою ⟺ n = 2ᵏ · p₁·p₂·…·pₘ,
де pᵢ — різні прості числа Ферма.
Гептадекагон (17-кутник) можна побудувати!
Принцип Ферма в оптиці
Ферма сформулював принцип, що світло обирає шлях з мінімальним (або максимальним) часом — узагальнення законів Снелла і відбиття.
Принцип найменшого часу (Ферма):
Світло поширюється між двома точками шляхом,
для якого час поширення є стаціонарним
(мінімальним або мінімаксом):
δT = δ∫n(r)ds/c = 0
де n(r) — показник заломлення, ds — елемент шляху
Наслідки:
• Закон відбиття: θ_відб = θ_пад
• Закон Снелла-Декарта: n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂
• Хвилеводи, гравітаційне лінзування
• Узагальнення → принцип найменшої дії (Гамільтон)
Теорія ймовірностей: листування з Паскалем
Задача про розподіл ставок (1654):
Два гравці — рахунок 3:2 (потрібно 5 очок).
Як справедливо поділити ставку при зупинці гри?
Ферма і Паскаль незалежно розв'язали:
Гравець A: потребує 2 перемоги, Гравець B: 3
Розіграти залишилось max 4 ігри.
P(A виграє) = C(4,0)·(1/2)⁴ + C(4,1)·(1/2)⁴ +
C(4,2)·(1/2)⁴ = (1+4+6)/16 = 11/16
Ставки: A:B = 11:5
Це заклало основи комбінаторної теорії ймовірностей!
Хронологія
- 1601Народився у Бомон-де-Ломань; батько — торговець шкірою
- 1631Став радником парламенту в Тулузі — математика лише хобі
- 1637Записав Велику теорему Ферма на полях «Арифметики» Діофанта
- 1640Мала теорема Ферма — у листі до Фрейнікля
- 1654Листування з Паскалем → основи теорії ймовірностей
- 1657Числа Ферма: гіпотеза, що 2^(2ⁿ)+1 завжди просте
- 1665Помер у Кастрі. «Принц аматорів» — жодної книги при житті