∫ Математичний аналіз: розв'язані задачі

П'ять типових задач з математичного аналізу: похідна, інтеграл, границя, екстремум і площина між кривими — покрокові рішення з коментарями.

📚 5 задач 🎓 Рівень: 1–2 курс університету ⏱ ~25 хвилин

Головна → Розв'язані задачі → Математичний аналіз
Задача 1 із 5

Похідна складної функції: y = sin(x³ + 2x)

🔗 Правило ланцюжка
1
Правило ланцюжка: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). Визначаємо «зовнішню» і «внутрішню» функції.
Зовнішня: f(u) = sin(u) → f'(u) = cos(u) Внутрішня: g(x) = x³ + 2x → g'(x) = 3x² + 2
2
Застосовуємо:
y' = cos(x³ + 2x) · (x³ + 2x)' = cos(x³ + 2x) · (3x² + 2)
Відповідь
y' = (3x² + 2)·cos(x³ + 2x)
Таблиця похідних: (sin u)' = cos u · u'; (cos u)' = −sin u · u'; (eᵘ)' = eᵘ · u'; (ln u)' = u'/u.
Задача 2 із 5

Невизначений інтеграл: ∫ x·eˣ dx

∫ Інтегрування частинами
1
Формула: ∫u·dv = u·v − ∫v·du. Вибираємо u і dv:
u = x → du = dx dv = eˣ dx → v = eˣ
2
Підставляємо:
∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C
3
Перевірка диференціюванням: (eˣ(x−1))' = eˣ(x−1) + eˣ·1 = eˣ(x−1+1) = x·eˣ ✓
Відповідь
∫ x·eˣ dx = eˣ(x − 1) + C
Правило LIATE: У виборі u — «Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential», перевагу беремо в порядку зліва направо.
Задача 3 із 5

Границя виду 0/0: lim (sin(3x)/x) при x→0

Правило Лопіталя / Еквівалентні нескінченно малі
1
Перевірка:при x→0: sin(3x)→0, x→0 → невизначеність 0/0.
2
Метод 1 — зміна змінної: нехай t = 3x, тоді x = t/3 і t→0.
lim(x→0) sin(3x)/x = lim(t→0) sin(t)/(t/3) = 3 · lim(t→0) sin(t)/t = 3 · 1 = 3
3
Метод 2 — Правило Лопіталя: Якщо lim = 0/0, то lim f/g = lim f'/g'.
lim sin(3x)/x = lim (sin(3x))' / (x)' = lim 3cos(3x) / 1 = 3·cos(0) = 3·1 = 3
Відповідь
lim(x→0) sin(3x)/x = 3
Перший чудовий ліміт: lim(x→0) sin(x)/x = 1 — фундаментальний результат тригонометричних границь.
Задача 4 із 5

Екстремуми функції: y = x³ − 3x² + 4

📈 Мінімум і максимум
1
Перша похідна: знаходимо критичні точки.
y' = 3x² − 6x = 3x(x − 2) y' = 0 → x = 0 або x = 2
2
Друга похідна (метод):
y'' = 6x − 6 При x = 0: y''(0) = −6 < 0 → локальний максимум При x = 2: y''(2) = 6 > 0 → локальний мінімум
3
Значення функції:
y(0) = 0 − 0 + 4 = 4 (максимум) y(2) = 8 − 12 + 4 = 0 (мінімум)
Відповідь
x=0: локальний max, y=4; x=2: локальний min, y=0
Ознака: y'' < 0 у критичній точці → максимум (угнутість вниз). y'' > 0 → мінімум (угнутість вгору). y'' = 0 → метод не спрацьовує, потрібна таблиця знаків.
Задача 5 із 5

Площа між кривими: y = x² і y = 2x

📐 Визначений інтеграл
1
Знаходимо точки перетину: x² = 2x → x(x−2) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 2.
2
Визначаємо яка крива вище на [0,2]: При x=1: 2x=2 > x²=1, тобто пряма вище параболи.
3
Формула площі:
S = ∫₀² (верхня − нижня) dx = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = (4 − 8/3) − (0 − 0) = 4 − 8/3 = 12/3 − 8/3 = 4/3
Відповідь
S = 4/3 ≈ 1,333 кв. од.
Загальна формула: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Якщо криві перетинаються на [a,b], треба розбити на підінтервали.
← Теорія чисел Органічна хімія →

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Розв'язані задачі з математичного аналізу показують стандартні техніки: диференціювання неявних функцій, обчислення площ та об'ємів тіл обертання, дослідження збіжності рядів.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з математичний аналіз демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Математичний аналіз': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з математичний аналіз представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з математичний аналіз найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок математичний аналіз містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з математичний аналіз допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Математичний аналіз' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Варіаційне числення 💪 Основні поняття математичного аналізу 💪 Тензорне числення — тренажер 📖 Варіаційне числення: рівняння Ейлера-Лагранжа, брахістохрона, принцип Гамільтона, теорема Нетер 📖 Варіаційне числення: екстремуми функціоналів 📐 Основна теорема аналізу — Ньютон-Лейбніц, формула та приклади