Розподіли ймовірностей: розв'язані задачі

Задача 1

Нормальний розподіл N(70, 16): P(a < X < b)

Зріст студентів розподілений нормально: μ = 170 см, σ = 10 см. Знайти ймовірність: а) P(160 < X < 180); б) P(X > 190); в) P(X < 155).

Стандартизація: Z = (X − μ)/σ

Z = (X − 170)/10

а) P(160 < X < 180) — 1σ-правило

P(160 < X < 180) = P((160−170)/10 < Z < (180−170)/10) = P(−1 < Z < 1) = Φ(1) − Φ(−1) = 2·Φ(1) − 1 = 2·0.8413 − 1 = 0.6827 ≈ 68.3%

б) P(X > 190) — 2σ від середнього

P(X > 190) = P(Z > (190−170)/10) = P(Z > 2) = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.0228 ≈ 2.28%

в) P(X < 155) — від'ємний z-score

P(X < 155) = P(Z < (155−170)/10) = P(Z < −1.5) = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668 ≈ 6.68%

Довідка: σ-правила нормального розподілу

Інтервал	Ймовірність
μ ± σ	68.27%
μ ± 2σ	95.45%
μ ± 3σ	99.73% (правило 3σ)

✅ а) P = 0.6827 (68.3%); б) P = 0.0228 (2.28%); в) P = 0.0668 (6.68%)

Задача 2

Розподіл Пуасона: дефекти на 1000 виробів

На виробничій лінії в середньому λ = 3 бракованих деталі на 100 виробів. Партія з 100 штук. Знайти P(X=0), P(X=1), P(X≥5), E(X), D(X).

Крок 1. Формула розподілу Пуасона

P(X=k) = e^{−λ}·λᵏ/k!, λ=3 e^{−3} ≈ 0.04979

Крок 2. P(X=0) та P(X=1)

P(X=0) = e^{−3}·3⁰/0! = 0.04979 ≈ 4.98% P(X=1) = e^{−3}·3¹/1! = 3·0.04979 = 0.1494 ≈ 14.94% P(X=2) = e^{−3}·9/2 = 0.2240 ≈ 22.4% P(X=3) = e^{−3}·27/6 = 0.2240 ≈ 22.4% P(X=4) = e^{−3}·81/24 = 0.1680 ≈ 16.8%

Крок 3. P(X≥5) = 1 − P(X≤4)

P(X≤4) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4) = 0.0498+0.1494+0.2240+0.2240+0.1680 = 0.8152 P(X≥5) = 1 − 0.8152 = 0.1848 ≈ 18.5%

Крок 4. Математичне сподівання і дисперсія

E(X) = λ = 3 (середня кількість бракованих деталей) D(X) = λ = 3 (σ = √3 ≈ 1.73)

Для Пуасона E(X) = D(X) = λ — унікальна властивість!

✅ P(0)=4.98%, P(1)=14.94%, P(X≥5)=18.5%; E(X)=D(X)=λ=3 (σ≈1.73)

Задача 3

Показниковий розподіл: час очікування

Час між надходженням вимог до сервера показниково розподілений з λ = 0.2 вимоги/хв. Знайти: а) P(T > 8 хв); б) P(3 < T < 10); в) E(T), D(T); г) медіану.

Показниковий розподіл: F(t), f(t)

f(t) = λ·e^{−λt}, t≥0; F(t) = 1 − e^{−λt} λ = 0.2 хв⁻¹

а) P(T > 8)

P(T > 8) = 1 − F(8) = e^{−λ·8} = e^{−0.2·8} = e^{−1.6} ≈ 0.2019 ≈ 20.2%

б) P(3 < T < 10)

P(3 < T < 10) = F(10) − F(3) = (1−e^{−2}) − (1−e^{−0.6}) = e^{−0.6} − e^{−2} = 0.5488 − 0.1353 ≈ 0.4135 ≈ 41.4%

в) E(T) та D(T)

E(T) = 1/λ = 1/0.2 = 5 хв D(T) = 1/λ² = 1/0.04 = 25 хв²; σ = 5 хв

Для показникового розподілу σ = E(X) = 1/λ (коефіцієнт варіації = 1).

г) Медіана

F(m) = 0.5 → e^{−λm} = 0.5 → m = ln(2)/λ = 0.6931/0.2 = 3.466 хв

Медіана = ln(2)/λ ≈ 0.693·E(X); медіана < середня (розподіл правосторонній).

✅ а) P≈20.2%; б) P≈41.4%; в) E=5хв, D=25хв²; г) медіана≈3.47хв

Задача 4

Χ²-розподіл: довірчий інтервал для дисперсії

Вибірка n=16 елементів, вибіркова дисперсія s²=25. Побудувати 95% довірчий інтервал для популяційної дисперсії σ².

Крок 1. Статистика χ² та ступені свободи

χ² = (n−1)·s²/σ² ~ χ²(n−1), df = n−1 = 15

Крок 2. Квантилі χ² для α=0.05 та df=15

χ²_{0.025, 15} = 6.262 (нижній квантиль 2.5%) χ²_{0.975, 15} = 27.488 (верхній квантиль 97.5%)

Крок 3. Побудова Довірчого Інтервалу

P(χ²_L < (n−1)s²/σ² < χ²_U) = 0.95 P((n−1)s²/χ²_U < σ² < (n−1)s²/χ²_L) = 0.95 σ²_нижн = 15·25/27.488 = 375/27.488 ≈ 13.64 σ²_верхн = 15·25/6.262 = 375/6.262 ≈ 59.89

✅ 95% ДІ для σ²: (13.64; 59.89). Для σ: (3.69; 7.74) (широкий інтервал — мала вибірка n=16)

Задача 5

Центральна гранична теорема: наближення суми

Гральний кубик (1–6, рівномірний розподіл). Кидаємо n=60 разів. Знайти P(S > 220), де S — сума.

Крок 1. Параметри одного кидка

E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5 E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6 ≈ 15.167 D(X) = E(X²) − (E(X))² = 15.167 − 12.25 = 2.917; σ = 1.708

Крок 2. Параметри суми S=X₁+...+X₆₀ (ЦГТ)

E(S) = n·E(X) = 60·3.5 = 210 D(S) = n·D(X) = 60·2.917 = 175; σ_S = √175 ≈ 13.23

При n=60 (ЦГТ виконується добре): S ∼ N(210, 175)

Крок 3. Стандартизація

P(S > 220) = P(Z > (220−210)/13.23) = P(Z > 10/13.23) = P(Z > 0.756) = 1 − Φ(0.756) = 1 − 0.7751 = 0.2249 ≈ 22.5%

Корекція на неперервність (точніше)

P(S > 220.5) = P(Z > 10.5/13.23) = P(Z > 0.794) = 1−0.7864 = 0.2136 ≈ 21.4%

✅ P(S>220) ≈ 22.5%; з корекцією ≈ 21.4% (E(S)=210, σ_S≈13.23, n=60 → ЦГТ добре працює)

🎲 Тренажер: Ймовірність 📊 Тренажер: Нормальний розподіл 📐 Формули: Байєс ↗ Ймовірність (розв'язані)

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з розподіли ймовірностей демонструються на цій сторінці?

Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Розподіли ймовірностей': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.

Якого рівня складності задачі з розподіли ймовірностей представлені?

Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.

Як вчитися на розв'язаних задачах з розподіли ймовірностей найефективніше?

Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.

Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?

Так, кожен розв'язок розподіли ймовірностей містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.

Як ці задачі з розподіли ймовірностей допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?

Розв'язані задачі з 'Розподіли ймовірностей' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

Методика розв'язання

Як вчитися на прикладах

Часті запитання (FAQ)

🔗 Також за темою