→ Вектори

Задачі з векторів

5 розв'язаних задач: операції з векторами, скалярний і векторний добутки, кут, проекція

Ключові формули

Операції з векторами a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃)
Модуль вектора|a| = √(a₁²+a₂²+a₃²)
Скалярний добутокa·b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ = |a||b|cosθ
Кут між векторамиcosθ = (a·b) / (|a||b|)
Векторний добуток |a×b||a||b|sinθ (S паралелограма)
Проекція a на bпр_b a = (a·b) / |b|
Одиничний вектор (орт)â = a / |a|
Задача 1 — Додавання і модуль
Знайти суму та модуль результантного вектора
Дано: a = (3, −1, 2), b = (−1, 4, 3)
Крок 1 — Сума векторів
Складаємо відповідні координати:
c = a + b = (3+(−1), −1+4, 2+3) = (2, 3, 5)
Крок 2 — Модуль суми
|c| = √(2²+3²+5²) = √(4+9+25) = √38 ≈ 6.16
Відповідь: c = (2, 3, 5), |c| = √38 ≈ 6.16
Задача 2 — Скалярний добуток і кут
Знайти скалярний добуток та кут між векторами
Дано: a = (2, 1, −2), b = (1, −3, 0)
Крок 1 — Скалярний добуток
a·b = 2·1 + 1·(−3) + (−2)·0 = 2 − 3 + 0 = −1
Крок 2 — Модулі векторів
|a| = √(4+1+4) = √9 = 3
|b| = √(1+9+0) = √10
Крок 3 — Косинус кута
cosθ = (−1) / (3·√10) = −1/(3√10) ≈ −0.1054
θ = arccos(−0.1054) ≈ 96°
Відповідь: a·b = −1; θ ≈ 96° (вектори тупокутні)
Задача 3 — Проекція вектора
Знайти проекцію вектора a на напрям вектора b
Дано: a = (4, 2, 4), b = (1, 2, 2)
Крок 1 — Скалярний добуток
a·b = 4·1 + 2·2 + 4·2 = 4 + 4 + 8 = 16
Крок 2 — Модуль b
|b| = √(1+4+4) = √9 = 3
Крок 3 — Проекція
пр_b a = (a·b) / |b| = 16 / 3 ≈ 5.33
Відповідь: пр_b a = 16/3 ≈ 5.33
💡 Вектор проекції: a_пр = (пр a)·(b/|b|) = (16/3)·(1/3, 2/3, 2/3) = (16/9, 32/9, 32/9)
Задача 4 — Векторний добуток (площа паралелограма)
Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах
Дано: a = (3, 1, 0), b = (1, 3, 0)
Крок 1 — Векторний добуток (визначник)
a × b = | i j k | | 3 1 0 | | 1 3 0 |
a × b = i(1·0−0·3) − j(3·0−0·1) + k(3·3−1·1) = 0i − 0j + 8k = (0, 0, 8)
Крок 2 — Площа
S = |a × b| = √(0²+0²+8²) = 8
Відповідь: S = 8 кв.од.
Задача 5 — Колінеарність та ортогональність
Перевірити колінеарність a та b; знайти c ⊥ a
Дано: a = (2, −4, 6); b = (−1, 2, −3); c = (x, 1, 1)
Крок 1 — Колінеарність a та b
b = k·a? → (−1)/2 = −1/2; 2/(−4) = −1/2; (−3)/6 = −1/2 ✓
b = (−1/2)·a → вектори колінеарні (паралельні)
Крок 2 — Знайти x із умови c ⊥ a
a·c = 0 → 2·x + (−4)·1 + 6·1 = 0
2x − 4 + 6 = 0 → 2x = −2 → x = −1
Відповідь: a ∥ b (колінеарні); x = −1, тоді c = (−1, 1, 1) ⊥ a
→ Калькулятор векторів 🎯 Тренажер: вектори ← До каталогу задач

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Розв'язки показують: метод Гауса для систем рівнянь, знаходження власних векторів, LU-розклад матриць.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з задачі з векторів демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Задачі з векторів': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з задачі з векторів представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з задачі з векторів найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок задачі з векторів містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з задачі з векторів допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Задачі з векторів' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор векторів 💪 Тренажер: Вектори