ℂ Математика3 курс

Комплексний Аналіз

Функції комплексної змінної, аналітичність, теорема Коші, ряди Лорана, теорія лишків та конформні відображення

60
годин
5
модулів
3
курс
Матаналіз 1–3
передумови

Програма курсу

Модуль 1
Комплексні числа і функції
📚 10 тем · ⏱ 12 год
⊕
  • Комплексна площина ℂ. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форма
  • Формула Ейлера: e^{iθ} = cosθ + i sinθ
  • Функції ФКЗ: границя, неперервність, диференційованість
  • Умови Коші-Рімана: ∂u/∂x=∂v/∂y, ∂u/∂y=−∂v/∂x
  • Аналітична функція. Гармонічні функції. Сполучені гармонічні
Модуль 2
Інтегрування ФКЗ
📚 8 тем · ⏱ 12 год
⊕
  • Інтеграл по кривій. Означення і обчислення
  • Теорема Коші (для простообласних і багатозв'язних областей)
  • Теорема про обчислення інтеграла: ∮f dz = 2πi·f(a)
  • Формула інтегралу Коші для похідних n-го порядку
  • Теорема Муреря. Лема Жордана
Модуль 3
Ряди Тейлора і Лорана
📚 8 тем · ⏱ 12 год
⊕
  • Степенні ряди в ℂ. Радіус та кола збіжності
  • Ряд Тейлора аналітичної функції. Єдиність розкладу
  • Ряд Лорана: головна і правильна частини
  • Класифікація відокремлених особливих точок: усувна, полюс, істотна
Модуль 4
Теорія лишків
📚 8 тем · ⏱ 12 год
⊕
  • Лишок у точці полюсу. Формули обчислення
  • Теорема про лишки: ∮f dz = 2πi·Σ Res(f,aₖ)
  • Застосування до обчислення невласних дійсних інтегралів
  • Підрахунок нулів і полюсів (принцип аргументу, теорема Руше)
Модуль 5
Конформні відображення
📚 6 тем · ⏱ 12 год
⊕
  • Конформне відображення: кут і орієнтація. Теорема Рімана
  • Дробово-лінійні відображення. Крос-відношення
  • Відображення w=z², w=eᶻ, w=sinz, w=lnz
  • Застосування до задач математичної фізики (гідродинаміка, електростатика)

Ключові теореми

Теорема Коші
∮f(z) dz = 0
Для аналітичної f в однозв'язній області
Формула Коші
f(a) = 1/(2πi) ∮f(z)/(z−a) dz
Значення аналітичної функції через контурний інтеграл
Теорема про лишки
∮f dz = 2πi Σ Res
Сума лишків у полюсах всередині контуру
Теорема Руше
N(f+g) = N(f) при |g|<|f|
Кількість нулів у області визначається домінантою

Ресурси

📘
Маркушевич — Теорія аналітичних функцій
Фундаментальний тритомний підручник
🎥
MIT 18.04 Complex Analysis
Відеолекції Йоренна Дінтеллмана
📗
Churchill — Complex Variables
Класичний англомовний підручник
🏫
Visual Complex Analysis (Needham)
Геометрична інтуїція для ФКЗ
← Дискретна математика Числові методи → ↩ Усі курси