💻 Математика3 курс

Числові Методи

Чисельне розв'язання рівнянь, інтерполяція функцій, МНК, чисельне інтегрування та чисельне розв'язання ЗДР і РЧПD

70
годин
6
модулів
3
курс
Матаналіз, ЛА
передумови

Програма курсу

Модуль 1
Розв'язання нелінійних рівнянь
📚 10 тем · ⏱ 12 год
⊕
  • Відокремлення коренів методом таблиць і графіків
  • Метод бісекції: |x*−xₙ| ≤ (b−a)/2ⁿ
  • Метод хорд (Реглула Фальсі). Збіжність
  • Метод дотичних (Ньютона-Рафсона): квадратична збіжність
  • Метод простої ітерації. Теорема Банаха. Критерій збіжності
  • Системи нелінійних рівнянь: метод Ньютона в ℝⁿ
Модуль 2
Чисельне розв'язання СЛР
📚 8 тем · ⏱ 10 год
⊕
  • Метод Гауса з вибором головного елемента. Стійкість
  • LU-розкладання. Метод прогону для тридіагональних матриць
  • Ітераційні методи: Якобі, Гаус-Зейдель. Критерій збіжності
  • Чисельна стійкість. Число обумовленості матриці cond(A)
Модуль 3
Інтерполяція та апроксимація
📚 10 тем · ⏱ 12 год
⊕
  • Інтерполяційний поліном Лагранжа. Залишковий член
  • Інтерполяція Ньютона: розділені різниці та різниці вперед/назад
  • Кубічні сплайни. Умови сpolятия і єдиності
  • Тригонометрична інтерполяція. ДПФ та FFT
  • Наближення МНК. Нормальні рівняння
Модуль 4
Чисельне диференціювання та інтегрування
📚 8 тем · ⏱ 10 год
⊕
  • Формули чисельного диференціювання. Похибка і вибір кроку
  • Формула прямокутників, трапецій, Сімпсона: h⁵/90·f⁴(ξ)
  • Квадратурні формули Гауса. Адаптивне інтегрування
  • Чисельне інтегрування в ℝⁿ: метод Монте-Карло
Модуль 5
Чисельне розв'язання ЗДР
📚 8 тем · ⏱ 10 год
⊕
  • Явний метод Ейлера. Похибка і стійкість
  • Метод Рунге-Кутта 4-го порядку (RK4)
  • Методи Адамса (багатокрокові). Предиктор-коректор
  • Жорсткі системи ЗДР. Неявні методи (Кранк-Ніколсон)
  • Крайові задачі: метод стрільби, метод скінченних різниць
Модуль 6
Оптимізація та метод МСЕ
📚 8 тем · ⏱ 16 год
⊕
  • Одновимірна оптимізація: методи золотого перетину і параболи
  • Градієнтний спуск. Метод спряжених градієнтів
  • Метод скінченних різниць для РЧП. Схема явна/неявна
  • Основи методу скінченних елементів (МСЕ)

Ключові методи

Метод Ньютона
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ)
Квадратична збіжність поблизу простого кореня
RK4
y_{n+1} = yₙ + h/6(k1+2k2+2k3+k4)
Найпопулярніший метод для ЗДР p=4
Формула Сімпсона
∫f dx ≈ h/3(f0+4f1+2f2+...+fₙ)
Похибка O(h⁴) — точніша за трапецію
Теорема Банаха
‖g'(x)‖ ≤ q < 1
Критерій збіжності для простої ітерації

Ресурси

📘
Численні методи (Самарський)
Класичний підручник для фізиків і математиків
🎥
MIT 18.335 Numerical Methods
Відеокурс (OCW)
📗
Numerical Recipes in C/Python
Практична реалізація всіх основних методів
🏫
SciPy документація
Python-реалізація числових методів
← Комплексний аналіз Математична фізика → ↩ Усі курси

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор числових рядів 💪 Чисельні Методи: Практика 💪 Тренажер: Числові Ряди — Збіжність, Часткові Суми 📖 Чисельні методи: бісекція, Ньютон-Рафсон, МНК, інтегрування, ітерації