годин

модулів

3–4

курс

Матаналіз 3, ДР

передумови

Програма курсу

Модуль 1

Класифікація РЧП та постановка задач

📚 8 тем · ⏱ 10 год

⊕

Класифікація РЧП 2-го порядку: еліптичні, параболічні, гіперболічні
Зведення до канонічної форми
Постановка Коші, Діріхле, Неймана, змішаної задачі
Теореми єдиності і коректності (задачі Адамара)

Модуль 2

Рівняння теплопровідності

📚 10 тем · ⏱ 14 год

⊕

Рівняння теплопровідності: ∂u/∂t = a²∂²u/∂x²
Виведення з закону Фур'є та рівняння нерозривності
Метод розділення змінних (Фур'є). Стаціонарне рішення
Нестаціонарна задача. Ряд Фур'є-синусів/косинусів
Задача для напівнескінченного стержня. Функція помилок
Принцип максимуму для параболічного рівняння

Модуль 3

Хвильове рівняння

📚 10 тем · ⏱ 14 год

⊕

Хвильове рівняння: ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x². Виведення
Формула Д'Аламбера для нескінченного стержня
Метод розділення змінних. Власні коливання струни
Хвильове рівняння у 2D і 3D (кругла мембрана, функції Бесселя)
Принцип Гюйгенса. Зони Френеля

Модуль 4

Рівняння Лапласа і Пуасона

📚 8 тем · ⏱ 12 год

⊕

Рівняння Лапласа: ∆u = 0. Гармонічні функції
Задача Діріхле всередині/ззовні кола. Інтеграл Пуасона
Функції Гріна для задачі Діріхле. Метод дзеркального відображення
Рівняння Пуасона: ∆u = −f. Потенціал об'ємного заряду

Модуль 5

Спеціальні функції

📚 8 тем · ⏱ 12 год

⊕

Рівняння Бесселя. Функції Бесселя 1-го і 2-го роду
Нулі функцій Бесселя. Ортогональність. Ряди Бесселя-Фур'є
Поліноми Лежандра. Рівняння Лежандра
Сферичні гармоніки. Застосування в квантовій механіці

Модуль 6

Перетворення Фур'є та розподіли

📚 8 тем · ⏱ 13 год

⊕

Інтеграл Фур'є: узагальнення рядів на нескінченний інтервал
Перетворення Фур'є: F̂(ω) = ∫f(x)e^{−iωx}dx
Властивості: лінійність, зсув, похідна, згортка
Застосування до задач Коші для РЧП (нескінченний стержень)
Дельта-функція Дірака. Узагальнені функції і розподіли

Ключові рівняння

Теплопровідність

∂u/∂t = a²∆u

Параболічне рівняння: дифузія тепла

Хвильове рівняння

∂²u/∂t² = c²∆u

Гіперболічне рівняння: хвилі у пружному тілі

Лапласа / Пуасона

∆u = 0 / ∆u = −ρ/ε₀

Еліптичне рівняння: стаціонарні потенціали

Д'Аламбер

u = ½[f(x+ct)+f(x−ct)]

Аналітичне рішення задачі Коші для хвиль

Ресурси

📘

Тихонов, Самарський — Рівняння МФ

Класичний підручник СРСР

🎥

MIT 18.303 Mathematical Physics

OCW курс з РЧП та методів

📗

Zwillinger — Handbook of Differential Equations

Великий довідник методів розв'язання

🏫

Paul's Notes — PDE

Безкоштовний онлайн посібник з РЧП

← Числові методи Загальна фізика → ↩ Усі курси

Математична Фізика

Програма курсу

Ключові рівняння

Ресурси

🔗 Також за темою