годин

модулів

2–3

курс

Теорія ймовірностей

передумови

Програма курсу

Модуль 1

Вибіркові характеристики

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Генеральна сукупність і вибірка. Обсяг та репрезентативність
Варіаційний ряд, емпірична функція розподілу
Вибіркова середня, медіана, мода
Вибіркова дисперсія: виправлена s² = Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1)
Асиметрія та ексцес. Гістограма і полігон частот

Модуль 2

Точкові оцінки

📚 10 тем⏱ 12 год

⊕

Властивості оцінок: незміщеність, ефективність, слушність
Метод максимальної правдоподібності (MLE)
Метод моментів. Порівняння методів
Нерівність Фішера-Рао. Ефективна оцінка
Достатня статистика. Теорема Рао-Блекуелла

Модуль 3

Інтервальні оцінки

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Довірчий інтервал: поняття рівня довіри (1−α)
ДІ для середнього при відомій σ: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n
ДІ для середнього при невідомій σ (розподіл Стьюдента)
ДІ для дисперсії (розподіл χ²). ДІ для частки
Розмір вибірки. Точність оцінки і рівень довіри

Модуль 4

Перевірка статистичних гіпотез

📚 12 тем⏱ 14 год

⊕

Нульова та альтернативна гіпотези. Помилки I і II роду
p-value: визначення та інтерпретація
t-тест Стьюдента для одної вибірки та двох вибірок
Тест хі-квадрат на відповідність розподілу Пірсона
Тест Колмогорова-Смирнова. Критерії узгодженості
F-тест на рівність дисперсій

Модуль 5

Регресійний аналіз

📚 10 тем⏱ 14 год

⊕

Парна лінійна регресія. МНК: ŷ = β₀ + β₁x
Оцінка коефіцієнтів. Властивості оцінок МНК (теорема Гаусса-Маркова)
Коефіцієнт детермінації R². Перевірка значимості регресії (F-тест)
Множинна лінійна регресія. Матрична форма: β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy
Мультиколінеарність. Діагностика і усунення
Нелінійна регресія. Логістична регресія для класифікації

Модуль 6

Дисперсійний і кореляційний аналіз

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Однофакторний дисперсійний аналіз (ANOVA). F-критерій Фішера
Двофакторний ANOVA. Взаємодія факторів
Кореляційний аналіз: Пірсон, Спірмен, Кендалл
Часові ряди: тренд, сезонність, згладжування

Ключові теореми

Теорема Гаусса-Маркова

β̂ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy

МНК-оцінки є BLUE (найкраще лінійне незміщене)

Нерівність Крамера-Рао

Var(θ̂) ≥ 1/I(θ)

Нижня межа дисперсії незміщеної оцінки

Теорема Рао-Блекуелла

θ̃ = E[θ̂|T]

Умовне сподівання покращує оцінку

Критерій Пірсона χ²

χ² = Σ(O−E)²/E

Перевірка відповідності теоретичному розподілу

Ресурси

📘

Гмурман — Збірник задач

Розділи по статистичних оцінках та гіпотезах

🎥

StatQuest with Josh Starmer

YouTube: p-value, регресія, ANOVA візуально

📗

Montgomery — Applied Statistics

Практичний підручник з регресії та DOE

🏫

Coursera: Statistics with Python

University of Michigan — реальні дані

← Теорія ймовірностей Дискретна математика → ↩ Усі курси

Математична Статистика

Програма курсу

Ключові теореми

Ресурси

🔗 Також за темою