годин

модулів

курс

Матаналіз 1–2

передумови

Програма курсу

Модуль 1

Аксіоматика і класична ймовірність

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Елементарні події, σ-алгебри, простір ймовірностей (Ω, F, P)
Класичне визначення: P(A) = |A|/|Ω|
Комбінаторика: перестановки, розміщення, комбінації
Аксіоми Колмогорова. Наслідки
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Незалежність подій. Незалежність у сукупності

Модуль 2

Формули повної ймовірності та Байєса

📚 6 тем⏱ 8 год

⊕

Повна ймовірність: P(A) = Σ P(A|Hᵢ)P(Hᵢ)
Формула Байєса: P(Hᵢ|A) = P(A|Hᵢ)P(Hᵢ)/P(A)
Байєсівське оновлення. A priori і a posteriori ймовірності
Схема Бернуллі: P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ

Модуль 3

Дискретні випадкові величини

📚 12 тем⏱ 14 год

⊕

Випадкова величина та її функція розподілу F(x) = P(X ≤ x)
Ряд розподілу. Математичне сподівання E[X] = Σ xₖpₖ
Дисперсія: D[X] = E[X²] − (E[X])²
Розподіл Бернуллі, Біноміальний: E[X]=np, D[X]=np(1−p)
Пуасонівський розподіл: P(X=k) = λᵏe^{-λ}/k!
Геометричний та гіпергеометричний розподіли

Модуль 4

Неперервні випадкові величини

📚 12 тем⏱ 14 год

⊕

Щільність розподілу f(x). Повна ймовірність: ∫f(x)dx = 1
Рівномірний розподіл U(a,b)
Нормальний розподіл N(μ,σ²): щільність і функція φ
Стандартизація: Z = (X−μ)/σ ~ N(0,1)
Показниковий розподіл Exp(λ): E[X]=1/λ, властивість без пам'яті
Гамма, хі-квадрат, Стьюдента розподіли

Модуль 5

Числові характеристики та нерівності

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Моменти k-го порядку. Центральні моменти. Асиметрія і ексцес
Коваріація: Cov(X,Y) = E[(X−μₓ)(Y−μᵧ)]
Коефіцієнт кореляції Пірсона р ∈ [−1, 1]
Нерівність Маркова: P(X≥a) ≤ E[X]/a
Нерівність Чебишова: P(|X−μ|≥ε) ≤ D[X]/ε²

Модуль 6

Закони великих чисел

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Збіжність у ймовірності, майже напевно, в середньому квадратичному
ЗЗВЧ Хінчина: X̄ₙ → μ за ймовірністю
СЗВЧ Колмогорова: збіжність майже напевно
Характеристичні функції. Теорема неперервності Леві

Модуль 7

Центральна гранична теорема

📚 8 тем⏱ 14 год

⊕

ЦГТ Ліндеберга-Леві: нормальна апроксимація суми
Практичні наслідки. Правило трьох сигм
Нормальна апроксимація біноміального розподілу
Пуасонівська апроксимація для малих ймовірностей
Стохастичні процеси: ланцюги Маркова, броунівський рух

Ключові теореми

Формула Байєса

P(H|A)=P(A|H)P(H)/P(A)

Оновлення ймовірності після отримання свідчень

ЦГТ Ліндеберга-Леві

(Sₙ−nμ)/(σ√n) → N(0,1)

Сума н.о.р.в.в. асимптотично нормальна

Нерівність Чебишова

P(|X−μ|≥ε) ≤ D/ε²

Оцінка відхилення без знання розподілу

ЗЗВЧ Хінчина

X̄ₙ→ μ при n→∞

Вибіркове середнє збігається до математичного сподівання

Ресурси

📘

Гмурман — Теорія ймовірностей

Класичний підручник + збірник задач

🎥

MIT 6.041 Probabilistic Systems

34 лекції John Tsitsiklis на YouTube

📗

Feller — Introduction to Probability

Класична двотомна монографія

🏫

Khan Academy — Statistics

Ймовірність та статистика (базовий і проміжний)

← Диф. рівняння Матем. статистика → ↩ Усі курси

Теорія Ймовірностей

Програма курсу

Ключові теореми

Ресурси

🔗 Також за темою