годин

модулів

2–3

курс

Матаналіз 1–2, ЛА

передумови

Програма курсу

Модуль 1

ЗДР 1-го порядку

📚 12 тем⏱ 14 год

⊕

Поняття ЗДР. Загальне і часткове рішення. Задача Коші
ЗДР з відокремлюваними змінними: g(y)dy = f(x)dx
Однорідні ЗДР: підстановка y = ux
Лінійне ЗДР 1-го порядку: метод варіації сталої
Рівняння Бернуллі. Рівняння Ріккаті
Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник
Теорема існування та єдиності (Піка-Ліндельофа)

Модуль 2

ЗДР 2-го порядку

📚 12 тем⏱ 14 год

⊕

Лінійне однорідне ЗДР 2-го порядку. Принцип суперпозиції
Характеристичне рівняння: aλ²+bλ+c = 0
Фундаментальна система рішень. Визначник Вронського
Метод варіації сталих (Лагранж) для неоднорідних
Метод невизначених коефіцієнтів. Правило підбору
Вільні коливання: ẍ + 2δẋ + ω₀²x = 0. Затухання
Вимушені коливання та резонанс. Амплітудно-частотна характеристика

Модуль 3

ЗДР вищих порядків

📚 6 тем⏱ 8 год

⊕

Лінійне ЗДР n-го порядку з const коефіцієнтами
Зниження порядку. Рівняння Ейлера
Граничні задачі та власні значення для ЗДР

Модуль 4

Системи ЗДР

📚 10 тем⏱ 12 год

⊕

Нормальна система ЗДР: dx/dt = Ax
Матрична експонента: eᴬᵗ. Власні значення і вектори
Фазовий портрет: вузол, сідло, фокус, центр
Стійкість за Ляпуновим. Критерій Рауса-Гурвіца
Нелінійні системи. Лінеаризація поблизу точки рівноваги

Модуль 5

Перетворення Лапласа

📚 10 тем⏱ 12 год

⊕

Визначення: L{f(t)} = ∫₀^∞ e^{-st}f(t)dt
Таблиця зображень. Властивості лінійності, зсуву
Зображення похідних та інтегралів
Зворотне перетворення Лапласа. Розклад на прості дроби
Розв'язання задачі Коші з початковими умовами
Згортка функцій: L{f*g} = L{f}·L{g}

Модуль 6

Числові методи та застосування

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Метод Ейлера та покращений метод Ейлера
Метод Рунге-Кутта 4-го порядку
Застосування: задачі механіки, електрики, хімічної кінетики
Математичне моделювання популяційної динаміки (Лотка-Вольтера)

Ключові теореми

Теорема Піка-Ліндельофа

∃! рішення задачі Коші

При умові Ліпшиця за y задача Коші має єдине рішення

Метод Лагранжа

x = Σ Cₖ(t)xₖ(t)

Варіація сталих для неоднорідного рівняння

Формула Ейлера-Дункеля

eᴬᵗ = ΣAⁿtⁿ/n!

Матрична експонента для системи dx/dt=Ax

Теорема згортки

L{f*g} = F(s)G(s)

Добуток зображень = зображення згортки

Ресурси

📘

Понтрягін — ЗДР

Класичний радянський підручник (доступний безкоштовно)

🎥

MIT 18.03 Differential Equations

Відеолекції та матеріали на OCW

📗

Тихонов, Васильєва, Свєшніков

Збірник задач з ЗДР з розбором

🏫

Paul's Online Math Notes

Підрозділ Differential Equations з прикладами

← Лінійна алгебра Теорія ймовірностей → ↩ Усі курси

Диференціальні Рівняння

Програма курсу

Ключові теореми

Ресурси

🔗 Також за темою