годин

модулів

1–2

курс

Шкільна математика

передумови

Програма курсу

Модуль 1

Матриці та операції над ними

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Поняття матриці: рядки, стовпці, елементи. Типи матриць (квадратна, одинична, нульова)
Транспонування: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ
Додавання матриць і множення на скаляр
Множення матриць: (AB)ᵢⱼ = Σₖ AᵢₖBₖⱼ
Власти операцій: асоціативність, дистрибутивність (не комутативність)
Блокові матриці та операції з ними

Модуль 2

Визначники

📚 10 тем⏱ 12 год

⊕

Визначник 2×2 і 3×3. Правило Саррюса
Розклад за рядком/стовпцем (теорема Лапласа)
Властивості: транспонування, рядки, множення, трикутна матриця
Мінори та алгебраїчні доповнення. Приєднана матриця
Формула для оберненої матриці: A⁻¹ = adj(A)/det(A)
Критерій оборотності. Рангова теорія

Модуль 3

Системи лінійних рівнянь

📚 12 тем⏱ 14 год

⊕

Матрична форма СЛР: Ax = b
Метод Гауса (прямий і зворотний хід). Ступінчаста форма
Теорема Кронекера-Капеллі. Умови сумісності
Правило Крамера для n×n невиродженої системи
Загальне рішення однорідної системи. Фундаментальна система рішень
Загальне рішення неоднорідної системи: x = x_p + x_h

Модуль 4

Лінійні простори та підпростори

📚 10 тем⏱ 12 год

⊕

Аксіоми лінійного (векторного) простору
Лінійна залежність та незалежність векторів. Базис і розмірність
Координати вектора у базисі. Матриця переходу
Лінійні підпростори, їхнє перетин і сума
Ортогональність: скалярний добуток, норма, кут між векторами
Ортогональний базис. Процес ортогоналізації Грама-Шмідта

Модуль 5

Лінійні оператори

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Лінійне відображення: означення та матриця у заданому базисі
Ядро (ker) і образ (im) лінійного оператора. Теорема про ранг
Зміна матриці оператора при зміні базису
Симетричні та унітарні оператори. Власти

Модуль 6

Власні значення та вектори

📚 10 тем⏱ 12 год

⊕

Задача на власні значення: Av = λv
Характеристичний поліном: det(A−λI) = 0
Власні вектори та власні підпростори
Діагоналізація матриці. Умови діагоналізованості
Спектральна теорема для симетричних матриць
Степенева ітерація та чисельні методи пошуку власних чисел

Модуль 7

Квадратичні форми

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Квадратична форма та її матриця: Q = xᵀAx
Зведення до канонічного виду. Метод Лагранжа
Закон інерції квадратичних форм
Критерій знаковизначеності. Критерій Сільвестра
Застосування до задач оптимізації (другий перевірочний критерій)

Ключові теореми

Теорема Кронекера-Капеллі

rank(A) = rank(A|b)

Необхідна і достатня умова сумісності СЛР

Спектральна теорема

A = QΛQᵀ (A симетрична)

Симетрична матриця ортогонально діагоналізується

Теорема про ранг

rank(A) + null(A) = n

Розмірність ядра + ранг = кількість стовпців

Критерій Сільвестра

Q > 0 ⟺ всі Δₖ > 0

Позитивна визначеність через кутові мінори

Ресурси

📘

Gilbert Strang — Linear Algebra

Підручник та відеолекції MIT (безкоштовно)

🎥

3Blue1Brown — Essence of LA

Візуальне розуміння концепцій лінійної алгебри

📗

Гантмахер — Теорія матриць

Класична академічна монографія

🏫

Khan Academy — Linear Algebra

Повний курс з відео та практичними задачами

← Матаналіз 1 Диф. рівняння → ↩ Усі курси

Лінійна Алгебра

Програма курсу

Ключові теореми

Ресурси

🔗 Також за темою