годин навчання

модулів

курс університету

Алгебра

попередня підготовка

Програма курсу

Модуль 1

Вступ. Числові множини та функції

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Множини дійсних чисел: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ. Нерівності та числові проміжки
Супремум і інфімум числової множини
Поняття функції, область визначення та значень
Складена, обернена, неявна функція
Елементарні функції та їх графіки
Обмежені функції, монотонні, парні/непарні, визначення

Модуль 2

Границі та неперервність

📚 12 тем⏱ 15 год

⊕

Границя числової послідовності. Теорема про стисколо
Границя функції (ε–δ означення Коші)
Основні теореми про границі (арифметика границь)
Перший чудовий ліміт: lim sin(x)/x = 1
Другий чудовий ліміт: lim(1+1/n)ⁿ = e
Нескінченно малі та нескінченно великі функції. Еквівалентні нескінченно малі
Неперервність функції у точці й на проміжку. Точки розриву та їх класифікація
Теорема Больцано-Коші (проміжних значень). Теорема Вєєрштрасса
Правило Лопіталя для розкриття 0/0, ∞/∞

Модуль 3

Диференціальне числення

📚 18 тем⏱ 22 год

⊕

Означення похідної як границі відношення приростів
Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі
Таблиця стандартних похідних (степінь, exp, log, trig)
Сума, добуток, частка функцій. Диференціювання складної функції (ланцюгове правило)
Похідна оберненої функції. Диференціювання неявних функцій
Логарифмічне диференціювання
Похідні вищих порядків. Формула Лейбніца для n-ої похідної добутку
Диференціал функції та його властивості. Апроксимація лінійним диференціалом
Теорема Ролля, Лагранжа, Коші — умовний формулювання та геометричний зміст

Модуль 4

Дослідження функцій

📚 10 тем⏱ 12 год

⊕

Монотонні функції та ознаки монотонності через похідну
Локальний мінімум і максимум. Достатні умови за 1-ю і 2-ю похідними
Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Опуклість, вгнутість, точки перегину
Вертикальні, горизонтальні, похилі асимптоти графіку
Повна схема дослідження функції і побудова графіку

Модуль 5

Невизначений інтеграл

📚 14 тем⏱ 15 год

⊕

Первісна функція і невизначений інтеграл. Таблиця стандартних інтегралів
Властивості невизначеного інтеграла: лінійність
Метод підстановки (заміни змінної)
Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du
Інтегрування найпростіших раціональних дробів
Розклад раціональних функцій на прості дроби (метод невизначених коефіцієнтів)
Інтегрування тригонометричних виразів (підстановка Вейєрштрасса)
Інтеграли з коренями квадратними (тригонометрична підстановка)

Модуль 6–7

Функції, означені параметрично та полярно

📚 6 тем⏱ 6 год

⊕

Параметрично задані криві. Похідна параметричної функції
Опуклість та дотична для параметричних кривих
Полярні координати. Перехід між декартовими та полярними координатами
Похідна у полярних координатах

Ключові теореми

Теорема Лагранжа (МЗЗ)

f(b)−f(a) = f'(c)·(b−a)

Існує c∈(a,b) де швидкість дорівнює середній

Правило Лопіталя

lim f/g = lim f'/g'

При невизначеностях 0/0 або ∞/∞

Перший чудовий ліміт

lim[x→0] sin(x)/x = 1

Фундаментальна границя тригонометрії

Інтегрування частинами

∫u dv = uv − ∫v du

Для добутків функцій різних типів

Ресурси для вивчення

📘

Демидович — збірник задач

Класичний збірник з тисячами задач — обов'язковий для студентів

🎥

3Blue1Brown: Essence of Calculus

Візуальне пояснення суті похідних та інтегралів

🏫

MIT 18.01 Single Variable Calculus

Безкоштовний курс МІТ: лекції, задачі, іспити

📗

Фіхтенгольц — курс матаналізу

Класичний університетський підручник у 3 томах

Матаналіз 2 → Розв'язані задачі: похідні ↩ Усі курси

Математичний Аналіз 1

Програма курсу

Ключові теореми

Ресурси для вивчення

🔗 Також за темою