годин навчання

модулів

1–2

курс університету

Матаналіз 1

попередня підготовка

Програма курсу

Модуль 1

Визначений інтеграл

📚 14 тем⏱ 18 год

⊕

Задача площі; інтегральна сума Рімана та її границя
Теорема Ньютона-Лейбніца: ∫[a,b] f dx = F(b)−F(a)
Властивості визначеного інтеграла: лінійність, адитивність, монотонність
Заміна змінної та метод частин у визначеному інтегралі
Площа плоскої фігури (прямокутні та полярні координати)
Об'єм тіла обертання (метод дисків і шарів)
Довжина дуги кривої і площа поверхні обертання
Невласні інтеграли 1-го роду (межа нескінченна) та 2-го роду (необмежена підінтегральна)

Модуль 2

Числові ряди

📚 12 тем⏱ 14 год

⊕

Числовий ряд, часткові суми, збіжність. Необхідна умова збіжності
Геометричний ряд: Σqⁿ = 1/(1−q) при |q|<1
Ряд Гармонічний (1+1/2+1/3+…) — розбіжний
Ознаки збіжності: Д'Аламбера (відношення), Коші (кореня), порівняльна
Знакозмінні ряди. Теорема Лейбніца про знакочергуючі ряди
Абсолютна та умовна збіжність

Модуль 3

Степеневі ряди та ряди Тейлора

📚 12 тем⏱ 15 год

⊕

Степеневий ряд: радіус і проміжок збіжності (формула Коші-Адамара)
Рівномірна збіжність степеневих рядів. Почленне диференціювання й інтегрування
Формула Тейлора. Ряд Маклорена для eˣ, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)ᵅ
Застосування рядів Тейлора: наближені обчислення, границі, інтеграли
Розклад функцій у ряди Тейлора в загальній точці

Модуль 4

Тригонометричні ряди Фур'є

📚 10 тем⏱ 12 год

⊕

Ортогональна система функцій sinx/cosnx на [-π,π]
Коефіцієнти Фур'є: aₙ = (1/π)∫f(x)cos(nx)dx
Ряд Фур'є для функції, заданої на [-π,π] або на довільному відрізку
Частинні суми, рівномірна збіжність, теорема Дірихле
Розкладання в ряд Фур'є парних та непарних функцій (лише за sin або cos)
Комплексна форма ряду Фур'є. Зв'язок з перетворенням Фур'є
Рівність Парсеваля та енергетичний зміст коефіцієнтів Фур'є

Модуль 5–6

Диференціальне числення функцій кількох змінних

📚 16 тем⏱ 11 год

⊕

Функції двох змінних: означення, область визначення, графік (поверхня)
Часткові похідні і їх геометричний зміст
Повний диференціал. Наближений розрахунок помилок
Часткові похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних
Диференціювання складної функції (ланцюгове правило у кілька змінних)
Похідна за напрямком і градієнт. Геометричний зміст градієнта
Екстремуми функцій двох змінних. Необхідні й достатні умови
Умовний екстремум та метод невизначених множників Лагранжа

Ключові теореми

Теорема Ньютона-Лейбніца

∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a)

Зв'язок між первісною та визначеним інтегралом

Ряд Тейлора (Маклорен)

f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ

Функцію розкладають у нескінченну суму

Ознака Д'Аламбера

lim |aₙ₊₁/aₙ| = L

L<1 — збігається, L>1 — розбігається

Рівність Парсеваля

(1/π)∫f²dx = a₀²/2 + Σ(aₙ²+bₙ²)

Енергія сигналу = сума квадратів коеф. Фур'є

Ресурси

📘

Демидович — збірник задач

Інтеграли та ряди — глави 5–9 зі тисячами задач

🎥

3Blue1Brown: Taylor Series

Візуальне пояснення рядів Тейлора та апроксимацій

🏫

MIT 18.02 — Multivariable Calculus

Безкоштовний MIT-курс: лекції, задачі, іспити

📗

Кудрявцев — курс мат. аналізу

3-томний класичний курс із строгими доведеннями

← Матаналіз 1 Матаналіз 3 → Розв'язані інтеграли ↩ Усі курси

Математичний Аналіз 2

Програма курсу

Ключові теореми

Ресурси

🔗 Також за темою