годин

модулів

курс

Матаналіз 1–2

передумови

Програма курсу

Модуль 1

Подвійний інтеграл

📚 10 тем⏱ 14 год

⊕

Означення подвійного інтеграла як границі інтегральних сум
Зведення до повторного: ∬f dA = ∫∫f(x,y)dy dx
Перетворення порядку інтегрування у повторному інтегралі
Заміна змінних у подвійному інтегралі. Якобіан перетворення
Полярні координати: dA = r dr dθ
Застосування: площа, об'єм, маса, моменти інерції, центр мас

Модуль 2

Потрійний інтеграл

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Потрійний інтеграл: означення і обчислення за повторним
Циліндричні координати та заміна змінних: dV = r dr dθ dz
Сферичні координати: dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ
Застосування: об'єм тіла, маса, момент інерції

Модуль 3

Криволінійні інтеграли

📚 10 тем⏱ 13 год

⊕

Криволінійний інтеграл 1-го роду (по дузі): довжина, маса кривої
Криволінійний інтеграл 2-го роду (по координатах): робота сили, потік
Теорема Гріна: ∮P dx+Q dy = ∬(∂Q/∂x−∂P/∂y)dA
Незалежність від шляху. Умови потенційності поля
Знаходження потенціалу консервативного поля

Модуль 4

Поверхневі інтеграли

📚 8 тем⏱ 10 год

⊕

Поверхневий інтеграл 1-го роду: площа поверхні, маса
Поверхневий інтеграл 2-го роду: потік векторного поля крізь поверхню
Теорема Гауса-Остроградського (дивергенції): ∯F·n dS = ∭div F dV
Теорема Стокса: ∮F·dr = ∬(rot F)·n dS

Модуль 5

Векторний аналіз та основи ДРЧ

📚 10 тем⏱ 18 год

⊕

Оператор набла ∇. Градієнт, дивергенція, ротор у декартових і криволінійних координатах
Лапласіан ∆. Рівняння Лапласа та Пуасона
Класифікація рівнянь у частинних похідних 2-го порядку
Постановка початково-крайових задач (умова Коші, Діріхле, Неймана)

Ключові теореми

Теорема Гріна

∮(P dx+Q dy) = ∬(Qₓ−Pᵧ)dA

Зв'язок контурного інтеграла з подвійним

Теорема Гауса

∯F·dS = ∭div F dV

Потік через замкнену поверхню = інтеграл дивергенції

Теорема Стокса

∮F·dr = ∬(rot F)·dS

Узагальнення теореми Гріна на поверхні

Якобіан заміни

dA = |∂(x,y)/∂(u,v)| du dv

Зміна міри при заміні координат

Ресурси

📘

Демидович — кратні інтеграли

Глави 11–14 з великим набором задач

🎥

MIT 18.02 Multivariable Calculus

Відеолекції Денніса Аурауха (OCW)

🏫

Khan Academy: Multivariable

Подвійні інтеграли, теореми дивергенції

📗

Фіхтенгольц — Мат. аналіз т. 3

Методи кратного інтегрування

← Матаналіз 2 Диф. рівняння → ↩ Усі курси

Математичний Аналіз 3

Програма курсу

Ключові теореми

Ресурси

🔗 Також за темою