Математичний аналіз · Середній рівень

Техніки інтегрування

Від табличних до методу частин — 10 покрокових прикладів

Інтегрування — операція, обернена до диференціювання. Якщо F′(x) = f(x), то ∫f(x)dx = F(x) + C, де C — довільна константа.

∫f(x)dx = F(x) + C (невизначений інтеграл)
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) (визначений)

Таблиця основних інтегралів

∫ f(x) dx= F(x) + C
∫ dxx + C
∫ xⁿ dx (n ≠ −1)xⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫ 1/x dxln|x| + C
∫ eˣ dxeˣ + C
∫ aˣ dxaˣ/ln a + C
∫ sin x dx−cos x + C
∫ cos x dxsin x + C
∫ 1/cos²x dxtg x + C
∫ 1/√(1−x²) dxarcsin x + C
∫ 1/(1+x²) dxarctg x + C

Метод 1 — Пряме табличне інтегрування

Приклад 1

∫ (3x² − 2x + 5) dx

Інтегруємо кожний доданок окремо
∫3x² dx = 3·x³/3 = x³
Продовжуємо
∫(−2x) dx = −x²; ∫5 dx = 5x
Збираємо і додаємо C
x³ − x² + 5x + C
∫(3x²−2x+5)dx = x³ − x² + 5x + C

Метод 2 — Підстановка (заміна змінної)

Якщо підінтегральна функція містить «внутрішню» функцію, вводимо заміну u = g(x).

Алгоритм: встановити u → знайти du → замінити все → проінтегрувати → повернутись до x
Приклад 2 — Підстановка

∫ 2x · e^(x²) dx

Вводимо заміну u = x²
du = 2x dx → 2x dx = du
Замінюємо в інтегралі
∫ eᵘ du
Табличний інтеграл
= eᵘ + C
Повертаємося до x
= e^(x²) + C
∫ 2x·e^(x²) dx = e^(x²) + C
Приклад 3 — Підстановка (тригонометрія)

∫ sin(5x) dx

u = 5x
du = 5 dx → dx = du/5
Замінюємо
∫ sin(u) · du/5 = (1/5) ∫ sin u du
Інтегруємо
= −(1/5)cos u + C = −(1/5)cos(5x) + C
∫ sin(5x) dx = −(1/5)cos(5x) + C

Метод 3 — Інтегрування частинами

Для інтегралів вигляду ∫u·dv. Формула:

∫ u dv = uv − ∫ v du
Вибір u (пріоритет): Логарифм → Обернені тригонометричні → Степенева → Тригонометрична → Показникова (ЛОСТІ)
Приклад 4 — Частини

∫ x · eˣ dx

Вибираємо u і dv
u = x (степінь → у при диф. зникне); dv = eˣ dx
Знаходимо du і v
du = dx; v = eˣ
Підставляємо у формулу
∫x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx
Інтегруємо залишок
= x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x−1) + C
∫ x·eˣ dx = eˣ(x − 1) + C
Приклад 5 — Частини (логарифм)

∫ ln x dx

u = ln x, dv = dx
du = 1/x · dx; v = x
Формула частин
∫ln x dx = x·ln x − ∫ x · (1/x) dx = x·ln x − ∫1 dx
Фінал
= x·ln x − x + C
∫ ln x dx = x·ln x − x + C

Типові помилки

⚠️ Завжди додавайте + C до невизначеного інтеграла — без нього «відповідь» хибна
⚠️ При підстановці перевірте, що ALL частини (включно з dx) замінені на нові змінні
⚠️ Перевірка: продиференціюйте відповідь — ви маєте отримати підінтегральну функцію
← Похідні ← Рівняння ↩ Усі розв'язання

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Розв'язані задачі з математичного аналізу показують стандартні техніки: диференціювання неявних функцій, обчислення площ та об'ємів тіл обертання, дослідження збіжності рядів.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з техніки інтегрування демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Техніки інтегрування': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з техніки інтегрування представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з техніки інтегрування найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок техніки інтегрування містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з техніки інтегрування допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Техніки інтегрування' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор інтегралів 🧮 Калькулятор інтегралів онлайн 💪 Тренування інтегралів за таблицею 💪 Тренажер: Інтеграли