Що вивчає гідродинаміка?
Гідродинаміка (або механіка рідини та газу) — розділ фізики та механіки, який вивчає рух рідин і газів та їхню взаємодію з тілами. Попри назву, що містить «гідро» (вода), наука охоплює і газодинаміку, і навіть плазму.
Два фундаментальні об'єкти вивчення:
- Ідеальна рідина — нестислива, безвязка, однорідна. Описується рівнянням Ейлера та рівнянням Бернуллі.
- В'язка рідина — реальна ситуація з тертям і дисипацією. Описується рівняннями Навьє–Стокса.
Рівняння нерозривності
Перший фундаментальний закон: маса рідини зберігається. Для нестисливої рідини об'ємна витрата Q = const вздовж трубки течії:
де A — площа перерізу, v — швидкість. Звідси: рідина тече швидше там, де труба вужча (звуження сопла, артерія зі звапнінням).
Рівняння Бернуллі
Для ідеальної нестисливої рідини вздовж лінії течії (закон збереження енергії):
| Символ | Величина | Одиниці |
|---|---|---|
| P | Статичний тиск | Па |
| ½ρv² | Динамічний тиск (кінетична енергія) | Па |
| ρgh | Гідростатичний тиск (потенціальна енергія) | Па |
| ρ | Густина рідини | кг/м³ |
💡 Парадокс Бернуллі: там де швидкість більша — тиск менший. Саме тому крило літака створює підйомну силу: повітря над крилом рухається швидше, тиск знизу більший.
Приклад: швидкість витікання рідини (формула Торрічеллі)
Застосовуємо Бернуллі між поверхнею рідини та отвором (обидва при атмосферному тиску, v₁ ≈ 0):
Рівняння Навьє–Стокса
Для реальної в'язкої рідини (ньютонівської) рух описується системою рівнянь Навьє–Стокса (1822–1845):
Ліва частина — інерція (зміна імпульсу). Права: градієнт тиску + в'язке тертя + тяжіння. Для нестисливої рідини доповнюється умовою: ∇·v = 0.
🏆 Задача тисячоліття: довести чи спростувати існування гладких розв'язань рівнянь Навьє–Стокса у тривимірному просторі. Інститут Клея пропонує $1 000 000 за розв'язання.
Число Рейнольдса і типи течії
Безрозмірне число Рейнольдса показує, яка течія — ламінарна чи турбулентна:
де L — характерний розмір (діаметр труби), μ — динамічна в'язкість, ν = μ/ρ — кінематична в'язкість.
🌊 Ламінарна течія
Впорядкована. Кожна частинка рухається по своїй траєкторії. Профіль швидкості — параболічний (Пуазейль). Характерна для в'язких рідин і малих швидкостей.
🌀 Турбулентна течія
Хаотична. Вихрові структури всіх масштабів (від сантиметрів до мікрометрів — т.зв. каскад Колмогорова). Різко збільшує тертя і перемішування.
Значення Re у природі та техніці
| Об'єкт / процес | Re (порядок) | Тип течії |
|---|---|---|
| Мікроорганізм (0.01 мм) | ~10⁻⁵ | Ламінарна |
| Кровотік у капілярі | ~0.001 | Ламінарна |
| Кровотік в аорті | ~3000 | Перехідний |
| Труба водопроводу (d=5см, v=1м/с) | ~50 000 | Турбулентна |
| Автомобіль (100 км/год) | ~7 × 10⁶ | Турбулентна |
| Boeing 747 (крило) | ~10⁸ | Турбулентна |
В'язкість і закон Ньютона для рідин
В'язкість — опір рідини деформуванню (внутрішнє тертя). Для ньютонівської рідини:
де τ — дотичне напруження (Па), μ — динамічна в'язкість (Па·с), dv/dy — градієнт швидкості. Вода при 20°C: μ ≈ 10⁻³ Па·с; мед: ~10 Па·с; кров: ~3×10⁻³ Па·с.
Неньютонівські рідини (кетчуп, крохмал у воді, кров при патологіях) не підкоряються цьому закону — їхня в'язкість залежить від швидкості деформації.
Ефект Магнуса і підйомна сила
Обертове тіло (куля, циліндр) у потоці рідини відчуває силу, перпендикулярну до напрямку руху — сила Магнуса:
Де Γ — циркуляція швидкості. Ефект пояснює: крученый м'яч у футболі, ефект Флетнера (ротаційний вітрильний корабель), підйомна сила крила.
Для крила підйомна сила описується законом Кутта–Жуковського: F_L = ρvΓl, де l — розмах.
Гідравлічний удар і практичні наслідки
Різка зупинка рідини у трубі (закриття клапану) породжує хвилю тиску:
де c — швидкість звуку у рідині (~1480 м/с для води). При Δv = 2 м/с: ΔP ≈ 2.96 МПа = 29 атм! Саме тому труба в будинку «гудить» при швидкому закритті крана. В промислових системах встановлюють гасники гідравлічного удару.