Рівняння хвилі: повне зведення формул — швидкість, дисперсія, стоячі хвилі, Доплер

∂²y/∂t² = v² · ∂²y/∂x²

Класичне хвильове рівняння (1D). v = √(T/μ) для струни; v = √(B/ρ) для пружних хвиль

🔢 Змінні та позначення

Символ	Назва	Одиниця	Опис
y, ψ	Зміщення / хвильова функція	м чи б/р	Відхилення від рівноваги в точці x у момент t
A	Амплітуда	м	Максимальне зміщення
λ	Довжина хвилі	м	Просторовий період — відстань між сусідніми гребенями
f, ν	Частота	Гц = 1/с	Кількість коливань за секунду
T	Період	с	T = 1/f
ω	Кутова частота	рад/с	ω = 2πf = 2π/T
k	Хвильове число	рад/м	k = 2π/λ = ω/v
v, c	Фазова швидкість	м/с	v = λf = ω/k
φ₀	Початкова фаза	рад	Зсув фази у початковий момент (t=0, x=0)
h, ℏ	Стала Планка	Дж·с	h = 6,626×10⁻³⁴ Дж·с; ℏ = h/2π

📐 Основні формули хвиль

Швидкість хвилі

Основне співвідношення

v = λ · f = λ/T = ω/k

Зв'язок між фазовою швидкістю, довжиною хвилі і частотою.

Хвильове число і кутова частота

Циклічні параметри

k = 2π/λ ; ω = 2πf

Хвильове число k — «просторова частота»; ω — «часова частота».

Бігуча хвиля

Гармонічна плоска хвиля

y = A·sin(kx − ωt + φ₀)

Хвиля рухається у напрямку +x. При «kx + ωt» — у напрямку −x.

Швидкість частинки середовища

Поперечна швидкість

v_y = ∂y/∂t = −Aω·cos(kx−ωt)

Максимальна швидкість частинки у хвилі: v_y_max = Aω.

Швидкість звуку

У газі (адіабатична)

v = √(γRT/M)

γ — показник адіабати, R = 8,314 Дж/(моль·К), M — молярна маса. Для повітря (20°С): ≈ 343 м/с.

Швидкість у струні

Поперечна хвиля

v = √(F/μ)

F — натяг струни [Н], μ — лінійна густина [кг/м]. Збільшення натягу → вища частота → вищий тон.

⚡ Стоячі хвилі

Обидва кінці закріплені (струна)

λₙ = 2L/n

fₙ = nv/(2L)

n = 1, 2, 3… Вузли на обох кінцях. На n-ій гармоніці ≈ n пучностей. Приклад: гітарна струна.

Один кінець відкритий (труба)

λₙ = 4L/(2n−1)

fₙ = (2n−1)v/(4L)

n = 1, 2, 3… Тільки непарні гармоніки. Вузол на закритому кінці, пучність на відкритому. Приклад: кларнет.

Рівняння стоячої хвилі: y = 2A·cos(kx)·sin(ωt). Амплітуда залежить від x, але вся струна коливається синхронно.

🚗 Ефект Доплера

Ситуація	Формула	Результат
Загальна (джерело + спост. рухомі)	f' = f₀ · (v ± v_о)/(v ∓ v_s)	«+» v_о — спост. наближ.; «−» v_s — джерело наближ.
Джерело наближається	f' = f₀ · v/(v − v_s)	f' > f₀ (вище тон)
Джерело віддаляється	f' = f₀ · v/(v + v_s)	f' < f₀ (нижчий тон)
Спостерігач наближається	f' = f₀ · (v + v_о)/v	f' > f₀
Релятивістський Доплер	f' = f₀ · √((1+β)/(1−β))	β = v/c; для ЕМ-хвиль

⚡ Енергія та потужність хвилі

Лінійна щільність енергії

Поперечна хвиля у струні

u = ½μω²A²

μ — лінійна щільність [кг/м]; по рівністю між кінетичною і потенціальною частинами.

Середня потужність

Поперечна хвиля

P = ½μω²A²v

P ∝ A² і P ∝ ω². Подвоєння амплітуди → вчетверо більша потужність.

Інтенсивність

Просторова щільність потужності

I = P / S = ½ρω²A²v

ρ — об'ємна щільність; S — поперечний переріз. [Вт/м²].

Зворотній квадрат

Точкове джерело (3D)

I = P / (4πr²)

Інтенсивність спадає як 1/r². Подвоєння відстані → зменшення I у 4 рази.

⚛️ Хвиля де Бройля

Де Бройль (1924)

Довжина хвилі частинки

λ = h / p = h / (mv)

h = 6,626×10⁻³⁴ Дж·с; p = mv — класичний імпульс. Чим важча або швидша частинка — тим менша λ.

Релятивістська форма

Швидкі частинки

λ = h / (γmv)

γ = 1/√(1−v²/c²) — фактор Лоренца. При v≪c γ≈1, формула переходить у класичну.

Умова Бора

Орбіта атома

2πr = nλ

Стійкі орбіти — ті, де по периметру вкладається ціле число хвиль де Бройля. Звідси квантування L = nℏ.

Електрон 100 еВ

Числовий приклад

λ ≈ 0,123 нм

p = √(2mE); λ = h/p. Порівнянна з міжатомними відстанями → електронна дифракція (LEED, ТЕМ).

Тест з хвиль Задачі з хвиль Спектр хвиль ↩ Усі формули

Часті запитання (FAQ)

Які основні формули охоплює цей розділ з рівняння хвилі?

Розділ 'Рівняння хвилі' містить: середнє арифметичне x̄, дисперсія s², стандартне відхилення s, коефіцієнт кореляції r, формула t-статистики. Кожна формула подана у загальному вигляді з поясненням позначень та умовами застосування.

Як правильно застосовувати формули з рівняння хвилі?

Перед підстановкою чисел у формулу переконайтесь: (1) всі величини в одних одиницях, (2) ви зрозуміли фізичний або математичний сенс кожного символу, (3) результат має правильну розмірність. Це три кроки, що запобігають 90% помилок.

Де в реальному житті використовуються формули рівняння хвилі?

Формули рівняння хвилі застосовуються в: медицині (клінічні дослідження), соціології (опитування), бізнесі (аналіз даних), інженерії (контроль якості). Знання цих співвідношень є обов'язковим для інженерів, науковців та студентів відповідних спеціальностей.

Які типові помилки роблять при роботі з формулами рівняння хвилі?

Найчастіші помилки: плутанина з одиницями вимірювання, неправильне трактування умов застосування формули, арифметичні прорахунки при підстановці. Завжди перевіряйте розмірність результату та порівнюйте з очікуваним порядком величини.

Як перевірити правильність формули рівняння хвилі?

Для перевірки: (1) перевірте розмірність (всі доданки мають однакову розмірність), (2) підставте граничні випадки (нулі, нескінченність), (3) звіртеся з результатом онлайн-калькулятора на calculator.party.

Рівняння хвилі — зведення формул

Про ці формули

Як застосовувати формули

Часті запитання (FAQ)

🔗 Також за темою