Зміст статті
1. Основні тотожності (піфагорові)
Три фундаментальні тотожності, які випливають з одиничного кола:
Піфагорові тотожності
Доведення sin²α + cos²α = 1: У точці одиничного кола (cos α, sin α). За теоремою Піфагора: cos²α + sin²α = 1² = 1.
2. Табличні значення
| Кут α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | 0 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1/2 | −1 |
| tan α | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | — | −√3 | 0 |
3. Суми та різниці кутів
sin(α ± β) та cos(α ± β)
tan(α ± β)
✏️ Приклад: cos(75°)
4. Формули подвійного кута
sin 2α, cos 2α, tan 2α
= 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
Лайфхак: Три форми cos 2α — вибирайте ту, яка зручніша для задачі. Якщо треба виразити через sin — беріть 1 − 2sin²α. Через cos — беріть 2cos²α − 1.
5. Формули половинного кута
sin(α/2), cos(α/2), tan(α/2)
6. Добуток ↔ Сума
Добуток → Сума
Сума → Добуток
7. Формули зведення
Дозволяють виразити тригонометричні функції кутів більше 90° через гострі кути:
| Формула | Функція |
|---|---|
| sin(90° − α) | = cos α |
| cos(90° − α) | = sin α |
| sin(90° + α) | = cos α |
| cos(90° + α) | = −sin α |
| sin(180° − α) | = sin α |
| cos(180° − α) | = −cos α |
| sin(180° + α) | = −sin α |
| cos(180° + α) | = −cos α |
| sin(−α) | = −sin α (непарна) |
| cos(−α) | = cos α (парна) |
Правило знаку: При зведенні до 90° або 270° sin↔cos, при зведенні до 180° або 360° — функція не змінюється. Знак визначається чвертю, в якій лежить початковий кут.
8. Тренажер-перевірка тотожностей
🧮 Перевірте тотожність числово
Про цю статтю
Ця стаття є частиною бази знань calculator.party — освітнього ресурсу, що поєднує теорію з практичними інструментами. Матеріал орієнтований на студентів, учнів і фахівців, що прагнуть глибокого розуміння теми. Тут зібрані ключові концепції, формули та реальні приклади застосування.
Геометрія поєднує абстрактне мислення з практичними розрахунками. Від архітектури до навігації, від комп'ютерної графіки до GPS — скрізь використовуються геометричні принципи.
Навіщо читати цю статтю
Після прочитання ви зможете впевнено пояснити тему, вирішувати практичні задачі та застосовувати знання у навчанні й роботі. Стаття охоплює теоретичне підґрунтя і числові приклади, що полегшують запам'ятовування матеріалу.