📐 Тригонометрія

Шпаргалка з тригонометрії

Одиничне коло, таблиця значень, всі тотожності: базові, суми кутів, подвійного кута, суми в добуток

Визначення через одиничне коло

Для точки P(x,y) на одиничному колі (радіус r=1), кут α від осі Ox:
sin α = y
cos α = x
tg α = y/x = sin α / cos α
ctg α = x/y = cos α / sin α
💡 Кут задається в радіанах (рад). 1 обертання = 2π рад = 360°. π рад = 180°. π/2 рад = 90°.

Таблиця значень

Кут°sin αcos αtg αctg α
00°010—
π/630°1/2√3/21/√3 ≈ 0,577√3 ≈ 1,732
π/445°√2/2 ≈ 0,707√2/211
π/360°√3/2 ≈ 0,8661/2√3 ≈ 1,7321/√3
π/290°10—0
2π/3120°√3/2−1/2−√3−1/√3
3π/4135°√2/2−√2/2−1−1
5π/6150°1/2−√3/2−1/√3−√3
π180°0−10—
3π/2270°−10—0
2π360°010—

Основні тотожності

Піфагорові тотожності
sin²α + cos²α = 1
1 + tg²α = 1/cos²α
1 + ctg²α = 1/sin²α
Чотири квадранти (знаки)
I (0–90°): sin>0, cos>0, tg>0
II (90–180°): sin>0, cos<0, tg<0
III (180–270°): sin<0, cos<0, tg>0
IV (270–360°): sin<0, cos>0, tg<0
Парність/непарність
sin(−α) = −sin α
cos(−α) = cos α
tg(−α) = −tg α
ctg(−α) = −ctg α
Формули суміжних кутів (π/2 ± α)
sin(π/2 + α) = cos α
cos(π/2 + α) = −sin α
sin(π − α) = sin α
cos(π − α) = −cos α

Формули суми і різниці кутів

sin(A ± B)
sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB
sin(A−B) = sinA·cosB − cosA·sinB
cos(A ± B)
cos(A+B) = cosA·cosB − sinA·sinB
cos(A−B) = cosA·cosB + sinA·sinB
tg(A ± B)
tg(A+B) = (tgA+tgB) / (1−tgA·tgB)
tg(A−B) = (tgA−tgB) / (1+tgA·tgB)
Подвійний кут
sin 2α = 2·sinα·cosα
cos 2α = cos²α − sin²α
cos 2α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
tg 2α = 2·tgα / (1−tg²α)

Формули половинного кута

sin²(α/2) та cos²(α/2)
sin²(α/2) = (1 − cosα) / 2
cos²(α/2) = (1 + cosα) / 2
tg(α/2) = sinα / (1+cosα) = (1−cosα) / sinα
Суми в добуток
sinA + sinB = 2·sin((A+B)/2)·cos((A−B)/2)
sinA − sinB = 2·cos((A+B)/2)·sin((A−B)/2)
cosA + cosB = 2·cos((A+B)/2)·cos((A−B)/2)
cosA − cosB = −2·sin((A+B)/2)·sin((A−B)/2)
Добуток в суму
sinA·cosB = ½[sin(A+B) + sin(A−B)]
cosA·cosB = ½[cos(A+B) + cos(A−B)]
sinA·sinB = ½[cos(A−B) − cos(A+B)]
Зворотні функції
arcsin(sinα) = α, α ∈ [−π/2, π/2]
arccos(cosα) = α, α ∈ [0, π]
arctg(tgα) = α, α ∈ (−π/2, π/2)
arcsin x + arccos x = π/2
💡 Мнемоніка для знаків квадрантів: «All Students Take Calculus» = I: All (усі +), II: Sine (+), III: Tangent (+), IV: Cosine (+)
← Шпаргалка похідних ← Геометрія ↩ Усі гіди

Як користуватися шпаргалкою

Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.

Шпаргалка охоплює: формули площ та периметрів, об'єми тіл, теореми синусів і косинусів, координатна геометрія, рівняння кривих.

Ефективне використання

Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.

Часті запитання (FAQ)

Які ключові формули та правила містить шпаргалка з тригонометрії?
Ця шпаргалка з 'тригонометрії' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.
Для кого призначена ця шпаргалка з тригонометрії?
Шпаргалка з 'тригонометрії' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.
Як використовувати шпаргалку з тригонометрії при підготовці до іспиту?
Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.
Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з тригонометрії?
Шпаргалка з 'тригонометрії' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.
Де ще можна попрактикуватися з тригонометрії після вивчення шпаргалки?
Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор обернених тригонометричних функцій 🧮 Калькулятор площі трикутника через тригонометрію 💪 Значення тригонометричних функцій 💪 Тренажер: Тригонометрія 📖 Тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс та їх застосування ✏️ Розв'язані задачі з тригонометрії: рівняння, формули, трикутники