📐 Тригонометрія

Задачі з тригонометрії

5 розв'язаних задач: рівняння, теорема косинусів, формули подвійного кута, обернені функції, трикутники

Ключові формули

Основні тотожності
Основна тотожністьsin²α + cos²α = 1
Тангенс через sin/costgα = sinα/cosα
Формула подвійного кута (sin)sin(2α) = 2sinα·cosα
Формула подвійного кута (cos)cos(2α) = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α
Теорема косинусівc² = a² + b² − 2ab·cos(C)
Теорема синусівa/sin(A) = b/sin(B) = 2R
Задача 1 — Просте тригонометричне рівняння
Розв'язати рівняння: 2sin(x) − √3 = 0
Знайти:x ∈ ℝ, загальний розв'язок
Крок 1: Виражаємо sin(x)
sin(x) = √3/2
Крок 2: Табличне значення
sin(π/3) = √3/2, тому шукаємо всі x, де sin(x) = √3/2
Крок 3: Загальний розв'язок для sin(x) = a
x = π/3 + 2πn, n ∈ ℤ
x = π − π/3 + 2πn = 2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ
Відповідь: x = π/3 + 2πn або x = 2π/3 + 2πn, де n ∈ ℤ
💡 Правило: sin(x) = sin(α) → x = α + 2πn або x = π − α + 2πn. Обидві гілки завжди!
Задача 2 — Рівняння з cos через формулу подвійного кута
Розв'язати рівняння: cos(2x) − cos(x) = 0
Знайти:x ∈ [0; 2π]
Крок 1: Розкладаємо cos(2x) = 2cos²x − 1
2cos²(x) − 1 − cos(x) = 0
Крок 2: Заміна t = cos(x) → квадратне рівняння
2t² − t − 1 = 0
D = 1 + 8 = 9; t₁ = (1+3)/4 = 1; t₂ = (1−3)/4 = −1/2
Крок 3: Повертаємось до x
cos(x) = 1 → x = 0 (або 2π)
cos(x) = −1/2 → x = 2π/3 або x = 4π/3
Відповідь: x = 0; x = 2π/3; x = 4π/3 (на проміжку [0; 2π])
Задача 3 — Теорема косинусів
У трикутнику ABC: a = 7, b = 5, кут C = 60°. Знайти сторону c і площу трикутника
Дано:a = 7, b = 5, C = 60°
Крок 1: Теорема косинусів
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
c² = 49 + 25 − 2·7·5·cos(60°)
c² = 74 − 70·(1/2) = 74 − 35 = 39
c = √39 ≈ 6,24
Крок 2: Площа трикутника
S = ½·a·b·sin(C) = ½·7·5·sin(60°)
S = ½·35·(√3/2) = 35√3/4 ≈ 15,15 см²
Відповідь: c = √39 ≈ 6,24; S = 35√3/4 ≈ 15,15 см²
💡 Теорема косинусів — узагальнення теореми Піфагора: при C=90° cos(90°)=0 і формула перетворюється на c²=a²+b²
Задача 4 — Теорема синусів, знаходження кута і сторони
У трикутнику: a = 6, A = 30°, B = 45°. Знайти сторони b і c
Дано:a = 6, A = 30°, B = 45°
Крок 1: Третій кут
C = 180° − 30° − 45° = 105°
Крок 2: Теорема синусів
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
6/sin(30°) = 6/(1/2) = 12
Крок 3: Сторони b і c
b = 12·sin(45°) = 12·(√2/2) = 6√2 ≈ 8,49
c = 12·sin(105°) = 12·sin(60°+45°)
sin(105°) = sin(60°)cos(45°)+cos(60°)sin(45°) = (√6+√2)/4
c = 12·(√6+√2)/4 = 3(√6+√2) ≈ 11,59
Відповідь: b = 6√2 ≈ 8,49; c = 3(√6+√2) ≈ 11,59
Задача 5 — Обернені тригонометричні функції
Знайти значення: arcsin(√3/2) + arccos(0) − arctan(1)
Знайти:числове значення виразу
Крок 1: arcsin(√3/2)
arcsin(√3/2) = π/3 (бо sin(π/3)=√3/2, і π/3∈[−π/2;π/2])
Крок 2: arccos(0)
arccos(0) = π/2 (бо cos(π/2)=0, і π/2∈[0;π])
Крок 3: arctan(1)
arctan(1) = π/4 (бо tan(π/4)=1, і π/4∈(−π/2;π/2))
Крок 4: Підсумовуємо
π/3 + π/2 − π/4 = 4π/12 + 6π/12 − 3π/12 = 7π/12
Відповідь: 7π/12 ≈ 1,833 рад ≈ 105°
💡 Пам'ятка: arcsin і arctan мають область значень [−π/2; π/2]; arccos — [0; π]. Завжди враховуйте ОЗ!
СЛАР → ← Геометрія ↩ Усі задачі

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Геометрія — інструмент для опису форм і просторових відношень у реальному світі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з задачі з тригонометрії демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Задачі з тригонометрії': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з задачі з тригонометрії представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з задачі з тригонометрії найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок задачі з тригонометрії містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з задачі з тригонометрії допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Задачі з тригонометрії' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор обернених тригонометричних функцій 🧮 Калькулятор площі трикутника через тригонометрію 💪 Значення тригонометричних функцій 💪 Тренажер: Тригонометрія 📖 Тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс та їх застосування