🔢 Лінійна алгебра

Системи лінійних рівнянь (СЛАР)

5 розв'язаних СЛАР: метод Гаусса, правило Крамера, матричний метод, однорідна система, безліч розв'язків

Методи розв'язання СЛАР

Порівняння методів
Метод ГауссаРядкові перетворення → трикутна форма
Правило Крамераxᵢ = Dᵢ/D (тільки при D≠0, квадратна)
Матричний методx = A⁻¹·b (тільки при det(A)≠0)
Теорема Кронекера–КапелліРозв'язок ∃ ⟺ rank(A) = rank(A|b)
Задача 1 — Метод Гаусса (3×3)
Розв'язати систему методом Гаусса:
Система: 2x + y − z = 3
x − y + 2z = −1
3x + 2y + z = 7
Крок 1: Складаємо розширену матрицю (A|b)
| 2 1 -1 | 3 | | 1 -1 2 |-1 | | 3 2 1 | 7 |
Крок 2: R₁↔R₂ (зручніше починати з 1)
| 1 -1 2 |-1 | | 2 1 -1 | 3 | | 3 2 1 | 7 |
Крок 3: R₂ = R₂ − 2R₁; R₃ = R₃ − 3R₁
| 1 -1 2 |-1 | | 0 3 -5 | 5 | | 0 5 -5 |10 |
Крок 4: R₃ = R₃ − (5/3)R₂
| 1 -1 2 |-1 | | 0 3 -5 | 5 | | 0 0 10/3|10/3 |
z = (10/3)/(10/3) = 1
Крок 5: Зворотна підстановка
3y − 5·1 = 5 → y = 10/3... ні: 3y = 10 → y = 10/3
Перевірка: y = (5 + 5z)/3 = (5+5)/3 = 10/3
x = −1 + y − 2z = −1 + 10/3 − 2 = 1/3
Краще перевірити: x − y + 2z = 1/3 − 10/3 + 2 = −3/3 + 2 = −1 + 2 = 1? Ні... перерахуємо.
x − (10/3) + 2·1 = −1 → x = −1 + 10/3 − 2 = 10/3 − 3 = 1/3
Відповідь: x = 1/3; y = 10/3; z = 1. Перевірка в рівнянні 1: 2/3 + 10/3 − 1 = 12/3 − 1 = 4 − 1 = 3 ✓
Задача 2 — Правило Крамера (2×2)
Розв'язати за правилом Крамера:
3x + 2y = 7
x − y = 1
Метод:Знайти D, D₁, D₂
Крок 1: Головний визначник D
D = |3 2| = 3·(−1) − 2·1 = −3 − 2 = −5
|1 -1|
Крок 2: D₁ (замінюємо 1-й стовпець на вектор b)
D₁ = |7 2| = 7·(−1) − 2·1 = −7 − 2 = −9
|1 -1|
Крок 3: D₂ (замінюємо 2-й стовпець)
D₂ = |3 7| = 3·1 − 7·1 = 3 − 7 = −4
|1 1|
Крок 4: x = D₁/D; y = D₂/D
x = −9 / −5 = 9/5; y = −4 / −5 = 4/5
Відповідь: x = 9/5 = 1,8; y = 4/5 = 0,8. Перевірка: 3·1,8 + 2·0,8 = 5,4 + 1,6 = 7 ✓; 1,8 − 0,8 = 1 ✓
Задача 3 — Матричний метод
Матричний метод для системи:
x + 2y = 5
3x − y = 4
Запис:A·x = b
Крок 1: Матриця A і det(A)
A = [[1,2],[3,−1]]; det(A) = 1·(−1)−2·3 = −7 ≠ 0 ✓
Крок 2: Обернена матриця A⁻¹ = (1/det)·adj(A)
A⁻¹ = (1/−7)·[[-1,-2],[-3,1]] = [[1/7, 2/7],[3/7, -1/7]]
Крок 3: x = A⁻¹·b
x = 1/7·5 + 2/7·4 = 5/7 + 8/7 = 13/7
y = 3/7·5 + (−1/7)·4 = 15/7 − 4/7 = 11/7
Відповідь: x = 13/7 ≈ 1,857; y = 11/7 ≈ 1,571
💡 Матричний метод зручний для систем, де A вже дана або потрібна для кількох правих частин. Для одного b — Крамер часто коротший.
Задача 4 — Система без єдиного розв'язку
Дослідити систему за теоремою Кронекера–Капеллі:
x + 2y + z = 4
2x + 4y + 2z = 8
x + 2y + z = 3
Завдання:Визначити тип системи
Крок 1: Розширена матриця і ранги
| 1 2 1 | 4 | | 2 4 2 | 8 | ← R₂ = 2·R₁ (залежний рядок) | 1 2 1 | 3 | ← те саме, але b≠4
Крок 2: R₂ = R₂ − 2R₁; R₃ = R₃ − R₁
| 1 2 1 | 4 | | 0 0 0 | 0 | | 0 0 0 |-1 |
rank(A) = 1; rank(A|b) = 2 (через рядок [0 0 0 | -1])
Крок 3: Теорема К-К
rank(A) = 1 ≠ 2 = rank(A|b) → система несумісна (немає розв'язків)
Відповідь: Система несумісна — розв'язків немає. Рядки 1 і 3 суперечать одне одному (одне і те ж ліворуч, але 4 vs 3 праворуч)
Задача 5 — Однорідна система з безліччю розв'язків
Знайти фундаментальну систему розв'язків:
x + 2y − z = 0
2x + 4y − 2z = 0
Однорідна СЛАР (b = 0)
Крок 1: Матриця і ранг
| 1 2 -1 | 0 | | 2 4 -2 | 0 | ← R₂ = 2·R₁
rank(A) = 1; n = 3 змінні → n − rank = 2 вільних змінних
Крок 2: Виражаємо x через вільні y, z
x = −2y + z
Крок 3: Фундаментальні вектори
Вектор 1 (y=1, z=0): x=−2 → v₁ = (−2, 1, 0)
Вектор 2 (y=0, z=1): x=1 → v₂ = (1, 0, 1)
Відповідь: Загальний розв'язок: x⃗ = t₁·(−2,1,0) + t₂·(1,0,1), t₁,t₂ ∈ ℝ. Фундаментальна система: {v₁, v₂}
💡 Кількість лінійно незалежних розв'язків однорідної системи = n − rank(A). Тут 3 − 1 = 2 вектори.
← Тригонометрія ← Похідні ↩ Усі задачі

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з системи лінійних рівнянь (слар) демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Системи лінійних рівнянь (СЛАР)': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з системи лінійних рівнянь (слар) представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з системи лінійних рівнянь (слар) найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок системи лінійних рівнянь (слар) містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з системи лінійних рівнянь (слар) допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Системи лінійних рівнянь (СЛАР)' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор лінійної алгебри 🧮 Калькулятор системи лінійних рівнянь 💪 Поняття лінійної алгебри 💪 Тренажер: Лінійні рівняння 📖 Лінійна алгебра: вектори, матриці, власні вектори 📖 Лінійне програмування: симплекс-метод, двоїстість, транспортна задача